Question

【題目】已知，點(diǎn)O在線段AB上，AB=6，OC為射線，且∠BOC=45°．動(dòng)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒．

（1）如圖1，若AO=2．

①當(dāng) t=6秒時(shí)，則OP= ，S△ABP= ；

②當(dāng)△ABP與△PBO相似時(shí)，求t的值；

（2）如圖2，若點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)AP=AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQBP的值．

Answer 1

【答案】（1）①6；；②t=+4；（2）18.

【解析】

試題分析：（1）①如圖1中，作PE⊥AB于E．求出PE的長(zhǎng)，根據(jù)S△APB=ABPE，即可計(jì)算．

②如圖1中，過(guò)點(diǎn)B作OC的垂線，垂足為H，由△ABP∽△PBO，得，即PB2=BOBA=24，推出BP=，再利用勾股定理求出OH、HP即可解決問(wèn)題．

（2）如圖中，作OE∥AP，交BP于點(diǎn)E．由△QAO∽△OEP，得，即AQEP=EOAO，由三角形中位線定理得OE=3，推出AQEP=9，由此即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）①如圖1中，作PE⊥AB于E．

在Rt△OPE中，OP=6，∠POE=45°，

∴PE=OPsin45°=3，

∴S△APB=ABPE=9，

②如圖1中，過(guò)點(diǎn)B作OC的垂線，垂足為H，

∵△ABP∽△PBO，

∴，

∴PB2=BOBA=24，

∴BP=，

在Rt△OHB中，∵∠BOH=45°，OB=4，

∴OH=HB=，

在Rt△PHB中，PH==4

∴OP=+4，

∴t=+4（秒）時(shí)，△ABP∽△PBO．

（2）如圖中，作OE∥AP，交BP于點(diǎn)E．

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B，

∴∠OEB=∠APB=∠B，

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°．

又∵∠OEP+∠OEB=180°，

∴∠OEP=∠QAB，

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

∵∠B=∠QOP，

∴∠AOQ=∠OPE，

∴△QAO∽△OEP，

∴，即AQEP=EOAO，

由三角形中位線定理得OE=3，

∴AQEP=9，

AQBP=AQ2EP=2AQEP=18．