Question

在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF．
（1）若E是線段AC的中點(diǎn)，如圖1，易證：BE=EF（不需證明）；
（2）若E是線段AC或AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠F=∠CEF，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠F=30°，從而得到∠CBE=∠F，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可證明；
（2）圖2，過點(diǎn)E作EG∥BC，交AB于點(diǎn)G，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠ACB=60°，再求出△AGE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AG=AE，從而可以求出BG=CE，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“邊角邊”證明△BGE和△ECF 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
圖3，證明思路與方法與圖2完全相同．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是線段AC的中點(diǎn)，
∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；

（2）圖2：BE=EF．…（1分）
圖3：BE=EF．…（1分）
圖2證明如下：過點(diǎn)E作EG∥BC，交AB于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等邊三角形，…（1分）
∴AG=AE，
∴BG=CE，…（1分）
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=120°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE=EF； …（1分）
圖3證明如下：過點(diǎn)E作EG∥BC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等邊三角形，…（1分）
∴AG=AE，
∴BG=CE，…（1分）
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=60°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）
∴BE=EF． …（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，利用等邊三角形的性質(zhì)找出全等的條件是解題的關(guān)鍵．