Question

（2011•婁底模擬）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，0）、B（6，0）、C（0，），拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)．
（1）求直線AC的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線AC上是否存一點(diǎn)P，使得△BDP的周長(zhǎng)最小？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式，代入A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；
（2）把A、B、C三點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx+c，列出三元一次方程組解答即可；
（3）利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，找出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)一步利用直角三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法與兩直線的相交的關(guān)系求得答案．
解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），C（0，-2）代入解析式得，
，
解得，
∴；

（2）把A（-2，0），B（6，0），C（0，-2）三點(diǎn)代入拋物線y=ax²+bx+c得，
，
解得：，
∴所求拋物線方程為；

（3）存在滿足條件的點(diǎn)P．
∵拋物線方程為，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為
要使△BDP的周長(zhǎng)最小，只需DP+PB最小，
延長(zhǎng)BC到點(diǎn)B′，使B′C=BC，連接B′D交直線AC于點(diǎn)P，
∵AC²=16，BC²=48，AB²=64，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∴B'P=BP，
∴DP+BP=DP+B′P=B′D最小，
則此時(shí)△BDP的周長(zhǎng)最小，
∴點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)B′作B′H⊥AB于點(diǎn)H，
∵B（6，0），C（0，），
∴在Rt△BOC中，BC=4，
∵OC∥B′H，B′C=BC，
∴OH=BO=6，
，
∴，
設(shè)直線B′D的解析式為y=mx+n，
∵D，在直線B′D上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在直線AC上存在點(diǎn)P，使得△BDP的周長(zhǎng)最小，此時(shí)．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，兩直線的位置關(guān)系，是一道綜合性很強(qiáng)的題目．