Question

已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）的頂點(diǎn)在直線y=-x-1上，且僅當(dāng)0＜x＜4時(shí)，y＜0．設(shè)點(diǎn)A是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)A 在y軸的右側(cè)，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△POA的面積為5時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)cos∠OPA=時(shí)，⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、P，求過(guò)點(diǎn)A且與⊙M相切的直線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題須先求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線的解析式即可．
（2）本題須先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示出△POA的面積即可得x的值，再代入求出y的值，即可得出求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）本題須先通過(guò)解直角三角形求出AB的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后即可得出過(guò)點(diǎn)A且與⊙M相切的直線的解析式．
解答：解：（1）根據(jù)題意，拋物線與x軸的交點(diǎn)為O（0，0）、A（4，0），
所以其對(duì)稱軸為x=2，
把x=2代入y=-x-1得y=-2，即拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）．
把（2，-2）、A（4，0）代入y=ax²+bx得
，
解得，
所求直線解析式為y=x²-2x；

（2）∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x²-2x）
△POA的面積=×4×=5，
∴x²-4x-5=0或x²-4x+5=0．（無(wú)解）
解x²-4x-5=0，得x₁=5，x₂=-1．
當(dāng)x₁=5，時(shí)，y₁=；x₂=-1時(shí)，y₂=，
所求的點(diǎn)P為：，P₂（-1，）；

（3）∵拋物線對(duì)稱軸x=2是OA的垂直平分線，
∴根據(jù)題意可知，圓心M在對(duì)稱軸x=2上，
連接AM并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，
∵∠AON=90°，
∴AN為⊙M直徑．
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，
由同弧所對(duì)圓周角相等，得∠ANO=∠APO．
設(shè)過(guò)點(diǎn)A且與⊙M相切的直線交y軸于點(diǎn)B，
則∠NAB=90°．
∴∠OAB=∠ANO，
∴cos∠OAB=cos∠APO=，且OA=4．
∴Rt△AOB中，cos∠OAB==．
即=
∴AB=，OB=2．即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-2）．
∴過(guò)點(diǎn)A、B與⊙M相切的直線解析式為y=x-2
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，
∵弦OA小于⊙M的直徑，
∴∠APO所對(duì)的弧是優(yōu)�。�
∴∠APO是鈍角，不合題意．故點(diǎn)P不可能在x軸的下方．
綜上，過(guò)點(diǎn)A、B與⊙M相切的直線解析式為y=x-2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，在解題時(shí)要把拋物線的圖象和性質(zhì)與解直角三角形相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．