【題目】探索與發(fā)現(xiàn)
探索:如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形ABCO的點(diǎn)B坐標(biāo)(4,4),點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上,對角線AC上一動點(diǎn)E,連接BE,過E作DE⊥BE交OC于點(diǎn)D.
(1)證明:BE=DE.
小明給出的思路為:過E作y軸的平行線交AB、x軸于點(diǎn)F、H.請完善小明的證明過程.
(2)若點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,0),則點(diǎn)E坐標(biāo)為 .
若點(diǎn)D坐標(biāo)為(a,0),則點(diǎn)E坐標(biāo)為 .
發(fā)現(xiàn):在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B坐標(biāo)(5,3),點(diǎn)D坐標(biāo)(3,0),找一點(diǎn)E,使得△BDE為等腰直角三角形,直接寫出點(diǎn)E坐標(biāo).
【答案】(1)詳見解析;(2)點(diǎn)D坐標(biāo)為(1.5,2.5);(0.5a,4﹣0.5a);點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,2)或(2,5)或(6,﹣2)或(8,1)或(2.5,2.5)或(5.5,0.5).
【解析】
(1)證出EH=BF,由ASA證明△BEF≌△EDH,得出BE=DE即可;
(2)連接OE,由正方形的對稱性質(zhì)得:OE=BE,證出OE=DE,由等腰三角形的性質(zhì)得出OH=DH=OD=1.5,由全等三角形的性質(zhì)得出EF=DH=1.5,求出FH=OA=4,得出EH=2.5,得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1.5,2.5);若點(diǎn)D坐標(biāo)為(a,0),同理可得則點(diǎn)E坐標(biāo)為(1.5a,2.5a).
發(fā)現(xiàn):分兩種情況:
①當(dāng)BD為等腰直角三角形的直角邊長時(shí),由全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2)或(2,5)或(6,-2)或(8,1);
②當(dāng)BD為等腰直角三角形的斜邊長時(shí),由全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2.5,2.5)或(5.5,0.5);即可得出結(jié)論.
(1)證明:∵四邊形ABCO是正方形,
∴AB∥OC,∠OAB=∠AOC=90°,∠OAC=∠BAC=∠OCA=45°,OA∥BC,
∵FH∥AB,
∴FH∥OA,
∴FH⊥OC,∠HEC=∠OAC=45°=∠OCA,∠BFH=∠OAB=90°,∠DHE=∠AOC=90°,
∴EH=CH=BF,
∵DE⊥BE,FH⊥AB,
∴由角的互余關(guān)系得:∠EBF=∠DEH,
在△BEF和△EDH中,,
∴△BEF≌△EDH(ASA),
∴BE=DE;
(2)解:連接OE,如圖1所示:
∵點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,0),
∴OD=3,
由正方形的對稱性質(zhì)得:OE=BE,
∵BE=DE,
∴OE=DE,
∵FH⊥OC,
∴OH=DH=OD=1.5,
∵△BEF≌△EDH,
∴EF=DH=1.5,
∵FH=OA=4,
∴EH=4﹣1.5=2.5,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1.5,2.5);
若點(diǎn)D坐標(biāo)為(a,0),同理可得,點(diǎn)E坐標(biāo)為(0.5a,4﹣0.5a);
故答案為:(1.5,2.5);(0.5a,4﹣0.5a).
發(fā)現(xiàn):分兩種情況:
①當(dāng)BD為等腰直角三角形的直角邊長時(shí),
點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2)或(2,5)或(6,﹣2)或(8,1);
②當(dāng)BD為等腰直角三角形的斜邊長時(shí),
點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2.5,2.5)或(5.5,0.5);
綜上所述:△BDE為等腰直角三角形,點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,2)或(2,5)或(6,﹣2)或(8,1)或(2.5,2.5)或(5.5,0.5).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,湛河兩岸AB與EF平行,小亮同學(xué)假期在湛河邊A點(diǎn)處,測得對岸河邊C處視線與湛河岸的夾角∠CAB=37°,沿河岸前行140米到點(diǎn)B處,測得對岸C處的視線與湛河岸夾角∠CBA=45°.問湛河的寬度約多少米?(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)
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【題目】“校園安全”受到全社會的廣泛關(guān)注,東營市某中學(xué)對部分學(xué)生就校園安全知識的了解程度,采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有_______人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角為_______°;
(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該中學(xué)共有學(xué)生900人,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該中學(xué)學(xué)生中對校園安全知識達(dá)到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
(4)若從對校園安全知識達(dá)到“了解”程度的3個女生和2個男生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識競賽,請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個男生和1個女生的概率.
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【題目】如圖, 分別平分的外角、內(nèi)角、外角.以下結(jié)論: ①;②;③平分;④; ⑤其中正確的結(jié)論是_______.
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【題目】如圖,(圖1,圖2),四邊形ABCD是邊長為4的正方形,點(diǎn)E在線段BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)F,交BC的延長線于點(diǎn)N, FN⊥BC.
(1)若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)(如圖1),AE與EF相等嗎?
(2)點(diǎn)E在BC間運(yùn)動時(shí)(如圖2),設(shè)BE=x,△ECF的面積為y。
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)x取何值時(shí),y有最大值,并求出這個最大值.
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【題目】某班參加一次智力競賽,共a、b、c三題,每題或者得滿分或者得0分,其中題a滿分20分,題b、題c滿分均為25分.競賽結(jié)果,每個學(xué)生至少答對了一題,三題全答對的有1人,答對其中兩道題的有15人,答對題a的人數(shù)與答對題b的人數(shù)之和為29,答對題a的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為25,答對題b的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為20,在這個班的平均成績是__分.
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【題目】尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(1)如圖,在一次軍事演習(xí)中,紅方偵察員發(fā)現(xiàn)藍(lán)方指揮部在A區(qū)內(nèi),到鐵路與到公路的距離相等,且離鐵路與公路交叉處B點(diǎn)600米,如果你是紅方的指揮員,請你在圖1所示的作戰(zhàn)圖上標(biāo)出藍(lán)方指揮部的位置。
(2).已知四邊形ABCD,如果點(diǎn)A、D關(guān)于直線MN對稱,
1)畫出對稱軸MN;
2)畫出四邊形ABCD關(guān)于直線MN的對稱圖形.
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【題目】(1)問題探究
①如圖1,在直角中,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),連接,則的最小值為_________.
②如圖2,在等腰直角中, ,若,求邊的長度(用含的代數(shù)式表示);
(2)問題解決
③如圖3,在等腰直角中,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),若點(diǎn)是邊上一點(diǎn),試求的最小值.
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