Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜邊AB為一邊作等邊△ABD，使點C，D在AB的同側；再以CD為一邊作等邊△CDE，使點C，E落在AD的異側．若AE=1，則CD的長為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：在延長DC后，欲求DC，即DF-CF．而DF是直角三角形ADF的高，CF是等腰直角三角形ABC斜邊上的高，根據(jù)題中條件，求出二者即可．
解答：解：延長DC交AB于F
由題意易得，
∵AC=BC，
∴C在AB的垂直平分線上，
同理，D在AB的垂直平分線上，
∴CD是等邊三角形ABD的角平分線，
所以∠ADC=30°，
則∠EDA=60°-30°=30°，
∵ED=DC，AD=AD，∠EDA=∠CDA=30°
∴△EDA≌△CDA
∴EA=AC=1
∴在等腰Rt△ABC中AB=
∴BF=CF=，
在△ABD中tan∠BDF=tan30°=，
∴DF=，
∴DC=DF-CF=．
故選D．
點評：此題主要考查了等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質，綜合利用了勾股定理和全等三角形的判定．