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(2009•河南)如圖,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).拋物線y=ax2+bx過A、C兩點.
(1)直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式;
(2)動點P從點A出發(fā).沿線段AB向終點B運動,同時點Q從點C出發(fā),沿線段CD向終點D運動.速度均為每秒1個單位長度,運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E.
①過點E作EF⊥AD于點F,交拋物線于點G.當t為何值時,線段EG最長?
②連接EQ.在點P、Q運動的過程中,判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形?請直接寫出相應的t值.

【答案】分析:(1)由于四邊形ABCD為矩形,所以A點與D點縱坐標相同,A點與B點橫坐標相同;
(2)①根據相似三角形的性質求出點E的橫坐標表達式即為點G的橫作標表達式.代入二次函數解析式,求出縱標表達式,將線段最值問題轉化為二次函數最值問題解答.
②若構成等腰三角形,則三條邊中有兩條邊相等即可,于是可分EQ=QC,EC=CQ,EQ=EC三種情況討論.若有兩種情況時間相同,則三邊長度相同,為等腰三角形.
解答:解:(1)因為點B的橫坐標為4,點D的縱坐標為8,AD∥x軸,AB∥y軸,所以點A的坐標為(4,8).
將A(4,8)、C(8,0)兩點坐標分別代入y=ax2+bx得,
解得a=-,b=4.
故拋物線的解析式為:y=-x2+4x;

(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE==,即=
∴PE=AP=t.PB=8-t.
∴點E的坐標為(4+t,8-t).
∴點G的縱坐標為:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8.
∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t.
∵-<0,∴當t=4時,線段EG最長為2.
②共有三個時刻.
(①)當EQ=QC時,
因為Q(8,t),E(4+t,8-t),QC=t,
所以根據兩點間距離公式,得:
t-4)2+(8-2t)2=t2
整理得13t2-144t+320=0,
解得t=或t==8(此時E、C重合,不能構成三角形,舍去).
(②)當EC=CQ時,
因為E(4+t,8-t),C(8,0),QC=t,
所以根據兩點間距離公式,得:
(4+t-8)2+(8-t)2=t2
整理得t2-80t+320=0,t=40-16,t=40+16>8(此時Q不在矩形的邊上,舍去).
(③)當EQ=EC時,
因為Q(8,t),E(4+t,8-t),C(8,0),
所以根據兩點間距離公式,得:(t-4)2+(8-2t)2=(4+t-8)2+(8-t)2,
解得t=0(此時Q、C重合,不能構成三角形,舍去)或t=
于是t1=,t2=,t3=40-16
點評:拋物線的求法是函數解析式中的一種,通常情況下用待定系數法,即先列方程組,再求未知系數,這種方法本題比較適合.對于壓軸題中的動點問題、極值問題,先根據條件“以靜制動”,用未系數表示各自的坐標,如果能構成二次函數,即可通過配方或頂點坐標公式求其極值.
練習冊系列答案
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②連接EQ.在點P、Q運動的過程中,判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形?請直接寫出相應的t值.

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