Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+1與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）相交于點A（1，0）和點D（﹣4，5），并與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線與x軸交于另一點B．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點E是直線下方拋物線上的一個動點，求出△ACE面積的最大值；
（3）如圖2，若點M是直線x=﹣1的一點，點N在拋物線上，以點A，D，M，N為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，請直接寫出點M的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（1，0），拋物線的對稱軸為x=﹣1，

∴B（﹣3，0）．

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），

將點D的坐標代入得：5a=5，解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3

（2）

解：如圖1所示：過點E作EF∥y軸，交AD與點F，過點C作CH⊥EF，垂足為H．

設(shè)點E（m，m2+2m﹣3），則F（m，﹣m+1）．

∴EF=﹣m+1﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+4

∴△ACE的面積=△EFA的面積﹣△EFC的面積= EFAG﹣ EFHC= EFOA=﹣ （m+ ）2+ ．

∴△ACE的面積的最大值為

（3）

解：當AD為平行四邊形的對角線時．

設(shè)點M的坐標為（﹣1，a），點N的坐標為（x，y）．

∵平行四邊的對角線互相平分，

∴ = ， = ．

解得：x=﹣2，5﹣a．

將點N的坐標代入拋物線的解析式得：5﹣a=﹣3，

∴a=8．

∴點M的坐標為（﹣1，8）．

當AD為平行四邊形的邊時．

設(shè)點M的坐標為（﹣1，a）．

∵四邊形MNAD為平行四邊形，

∴點N的坐標為（﹣6，a+5）或（4，a﹣5）．

∵將x=﹣6，y=a+5代入拋物線的解析式得：a+5=36﹣12﹣3，解得：a=16，

∴M（﹣1，16）．

將x=4，y=a﹣5代入拋物線的解析式得：a﹣5=16+8﹣3，解得：a=26，

∴M（﹣1，26）．

綜上所述，當點M的坐標為（﹣1，26）或（﹣1，16）或（﹣1，8）時，以點A，D，M，N為頂點的四邊形能成為平行四邊形

【解析】（1）先利用拋物線的對稱性確定出點B的坐標，然后設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），將點D的坐標代入求得a的值即可；（2）過點E作EF∥y軸，交AD與點F，過點C作CH⊥EF，垂足為H．設(shè)點E（m，m2+2m﹣3），則F（m，﹣m+1），則EF=﹣m2﹣3m+4，然后依據(jù)△ACE的面積=△EFA的面積﹣△EFC的面積列出三角形的面積與m的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得△ACE的最大值即可；（3）當AD為平行四邊形的對角線時．設(shè)點M的坐標為（﹣1，a），點N的坐標為（x，y），利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)可求得x的值，然后將x=﹣2代入求得對應的y值，然后依據(jù) = ，可求得a的值；當AD為平行四邊形的邊時．設(shè)點M的坐標為（﹣1，a）．則點N的坐標為（﹣6，a+5）或（4，a﹣5），將點N的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．