Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AE交⊙O于點F，且與⊙O的切線CD互相垂直，垂足為D．

（1）求證：∠EAC=∠CAB；

（2）若CD=4，AD=8，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為5．

【解析】試題分析：（1）首先連接OC，由CD是 O的切線，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根據平行線的性質與等腰三角形的性質，即可證得∠EAC=∠CAB；

（2）連接BC，易證得△ACD∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AB的長，繼而可得⊙O的半徑長.

（1）證明：連接OC．

∵CD是⊙O的切線，

∴CD⊥OC，

又∵CD⊥AE，

∴OC∥AE，

∴∠1=∠3，

∵OC=OA，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

即∠EAC=∠CAB；

（2）解：連接BC．

∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AE于點D，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵∠1=∠2，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∵AC2=AD2+CD2=42+82=80，

∴AB==10，

∴⊙O的半徑為10÷2=5．