Question

“假日旅樂(lè)園”中一種新型水上滑梯如圖，其中線段PA表示距離水面（x軸）高度為5m的平臺(tái)（點(diǎn)P在y軸上）．滑道AB可以看作反比例函數(shù)圖象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分，兩滑道的連接點(diǎn)B為拋物線BCD的頂點(diǎn)，且點(diǎn)B到水面的距離BE=2m，點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離是5m．當(dāng)小明從上而下滑到點(diǎn)C時(shí)，與水面的距離CG=

3

2

m，與點(diǎn)B的水平距離CF=2m．
（1）求反比例函數(shù)的解析式及其自變量的取值范圍．
（2）求二次函數(shù)的解析式及其自變量的取值范圍．
（3）小明從點(diǎn)B滑水面上點(diǎn)D處時(shí)，試求他所滑過(guò)的水平距離d．

Answer 1

分析：（1）在題中，BE=2，B到y(tǒng)軸的距離是5，即反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都已告知，則可求出比例系數(shù)k；
（2）由（1）知，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)已知，可列兩個(gè)關(guān)系式，又C點(diǎn)坐標(biāo)已知?jiǎng)t可列一個(gè)關(guān)于a、b、c的方程組，進(jìn)而求出解析式，求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，繼而可得出自變量的取值范圍；
（3）用D的橫坐標(biāo)減去點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，即可求出水平距離d．

解答：解：（1）∵BE=2，B到y(tǒng)軸的距離是5，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），
若設(shè)反比例解析式為y=

k

x

，
則k=10，
∴y=

10

x

，
當(dāng)y=5時(shí)，x=2，
即A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5），
∴自變量x的取值范圍2≤x≤5；

（2）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
由題意可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），C點(diǎn)坐標(biāo)為（7，

3

2

），

- b 2a =5 4ac-b2 4a =2 49a+7b+c= 3 2

，
解得，

a=- 1 8 b= 5 4 c=- 9 8

，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

8

x²+

5

4

x-

9

8

，
當(dāng)y=0時(shí)，x₁=9，x₂=1（舍去），
即D（9，0），
∴自變量的取值范圍是：5≤x≤9；

（3）由題可知，ED=9-5=4（m），
即小明從點(diǎn)B滑水面上點(diǎn)D處時(shí)，他所滑過(guò)的水平距離d=4m．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)和二次函數(shù)的基本性質(zhì)和概念，以及用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，難易程度適中．