Question

某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線ι上連接一個分支線路，分支點為M，同時向新落成的A，B兩個居民小區(qū)送電，已知居民小區(qū)A，B分別到主干線ι的距離AA1＝2 km，BB1＝1 km，且A1B1＝4 km． (1) 如果居民小區(qū)A，B在主干線ι的兩旁，如圖(1)所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？最短線路的長度是多少千米？ (2) 如果居民小區(qū)A，B在主干線ι的同旁，如圖(2)所示，那么分支點M在什么地方時總線路最短？此時分支點M與A1的距離是多少千米？

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：方法1：如所示，聯(lián)結(jié)AB，AB與ι的交點就是所求分支點M．分支點開在此處，總線路最短．因為∠BB1M＝∠AA1M＝(已知)，∠BMB1＝∠AMA1(對頂角相等)，所以△B1BM∽△A1AM，所以，即，解得A1M＝．由勾股定理得AB＝AM＋BM＝＝＝5，所以分支點M在線段A1B1上且距A點 km處，最短線路的長度為5 km． 　　方法2：聯(lián)結(jié)AB，AB與ι的交點就是所求分支點M．分支點開在此處，總線路最短．過B點作ι的平行線，與AA1的延長線交于P點，如圖甲所示，則∠APB＝，BP＝A1B1＝4，AP＝A1A＋B1B＝3．在Rt△APB中，根據(jù)勾股定理，得AB＝，所以最短線路的長度為5 km．
(2)	解：如圖所示，作B點關(guān)于直線ι的對稱點B2，聯(lián)結(jié)AB2交直線ι于點M，此處即為分支點，由(1)知，A1M長度為 km． 　　解題指導(dǎo)：利用三角形的性質(zhì)可求出第(1)題，第(2)題即是找出B點關(guān)于ι的對稱點B2，再根據(jù)(1)的結(jié)論得出結(jié)果．