Question

如圖，BC是⊙O的直徑，AD=DC，弦AC與BD交于點(diǎn)E，
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）已知：BC=

5

2

，CD=

5

2

，求sin∠AEB的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)AD=DC可求出∠ABD=∠DBC，再根據(jù)BC是⊙O的直徑可得出∠BAC=∠BDC=90°，進(jìn)而可求出△ABE∽△DBC；
（2）根據(jù)△ABE∽△DBC可知∠AEB=∠BCD，再根據(jù)△DBC是直角三角形可求出BD的長(zhǎng)，再求出sin∠ACB的值即為sin∠AEB的值．

解答：解：（1）∵AD=DC，∴∠ABD=∠DBC，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵△ABE∽△DBC，∴∠AEB=∠BCD，
∵∠BDC=90°，BC=

5

2

，CD=

5

2

，
∴BD=

BC2-CD2

=

( 5 2 )2-( 5 2 )2

=

5

，
∴sin∠BCD=

BD

BC

=

5

5 2

=

2 5

5

，
∴sin∠AEB=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到弧、圓周角、弦的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)值，涉及面較廣，但難易適中．