(2003•大連)如圖,PA是⊙O的切線,切點為A,PCB是⊙O的割線,交⊙O于C、B兩點,半徑OD⊥BC,垂足為E,AD交PB于點F,BF=PF.
(1)求證:PA=PF;
(2)若CF=1,求切線PA的長.

【答案】分析:(1)可通過證明角相等來得出邊相等,本題中需要證明的相等角是∠PFA=∠PAF,我們看這兩個角和哪些角有關(guān)系,∠PFA=∠DFE,∠D+∠DFE=∠D+∠DFA=90°,再看∠PAF,根據(jù)切線的性質(zhì)可得出,∠PAF+∠OAD=90°,那么只要證明∠ODA=∠OAD,就能得出∠PFA=∠PAF的結(jié)論,而∠ODA=∠OAD正好可以用等邊對等角來得出,因此便能證明出PA=PF;
(2)根據(jù)切割線定理我們可知:PA2=PC•PB,而PC=PF-1,PB=2PF,根據(jù)BF=PF=PA,那么將相等的線段進行置換即可求出PA的長.
解答:(1)證明:∵PA是圓O的切線,
∴∠OAD+∠PAF=90°…①
∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA…②
∵OD⊥BC,
∴∠ODA+∠DFE=90°,而∠DFE=∠PFA.
∴∠PFA+∠ODA=90°…③
根據(jù)①②③可得:∠PFA=∠PAF,
∴PA=PF.

(2)解:∵PA是圓O的切線,
∴PA2=PC•PB.
∵PC=PF-CF=PA-1,PB=2PF=2PA,
∴PA2=(PA-1)•2PA.
∴PA=2.
點評:本題主要考查了切線的性質(zhì),切割線定理等知識點,根據(jù)切線的性質(zhì)得出直角進而用等角的余角相等來求出邊相等是解題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2003•大連)如圖,PA是⊙O的切線,切點為A,PCB是⊙O的割線,交⊙O于C、B兩點,半徑OD⊥BC,垂足為E,AD交PB于點F,BF=PF.
(1)求證:PA=PF;
(2)若CF=1,切線PA的長為
2
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科目:初中數(shù)學 來源:2003年全國中考數(shù)學試題匯編《二次函數(shù)》(05)(解析版) 題型:解答題

(2003•大連)如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,D是拋物線上一點,其坐標為(,-),B點坐標為(1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)經(jīng)過A、B、D三點的圓交AC于F,交直線y=x+3于點E.試判斷△BEF的形狀,并加以證明.

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科目:初中數(shù)學 來源:2003年遼寧省大連市中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

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(1)求拋物線的解析式;
(2)經(jīng)過A、B、D三點的圓交AC于F,交直線y=x+3于點E.試判斷△BEF的形狀,并加以證明.

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科目:初中數(shù)學 來源:2003年全國中考數(shù)學試題匯編《圓》(09)(解析版) 題型:解答題

(2003•大連)如圖,在△ABC中,以BC為直徑的⊙O交AB于D,交AC于E,BD=CE.
求證:AB=AC.

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科目:初中數(shù)學 來源:2003年遼寧省大連市中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題

(2003•大連)如圖,P是⊙O外一點,PA、PB分別和⊙O切于A、B,C是弧AB上任意一點,過C作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E,若△PDE的周長為12,則PA長為   

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同步練習冊答案
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