Question

拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，0）、，0），它與y軸相交于點(diǎn)C，且∠ACB≥90°，設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為D，△BCD的邊CD上的高為h．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求高h(yuǎn)的取值范圍；
（3）當(dāng)（1）的實(shí)數(shù)a取得最大值時(shí)，求此時(shí)△BCD外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形各邊的關(guān)系，求得OC²=OA•OB，利用邊角關(guān)系，代入a值解得．
（2）過(guò)D作DE⊥OC，延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CH于點(diǎn)F．利用頂點(diǎn)公式求得點(diǎn)D，由OC≤3，則tan∠OHC=≤，從而解得．
（3）求得a的最大值，求得h值，可得BD，BC，連接DG，由△DGB∽△BCF求得DG．
解答：解：（1）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，OC²=OA•OB，
得OC=3
又∠ACB≥90°，
故OC≤3，
所以9a≤3，
∴0＜a≤．
（2）過(guò)D作DE⊥OC，延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CH于點(diǎn)F．
因?yàn)镈為拋物線的頂點(diǎn)，
所以D（，-12a），OE=12a，
又∵OC=9a，CE=3a，DE=，
易證△HCO∽△DCE，
有=3，
故OH=3DE=3，BH=OH-OB=2，
又OC≤3，則tan∠OHC=≤，
于是0＜∠OHC＜30°，
則h=BF=BHsin∠BHF≤BHsin30°=，
從而0＜h≤．
（3）當(dāng)a取最大值時(shí)，a=，
此時(shí)h=，B（，0），C（0，-3），D（，-4），
可求BD=2，BC=2，
作直徑DG，易證△DGB∽△BCF，，
所以．
故DG=4，
即△BCD外接圓的半徑為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，并涉及到了拋物線的頂點(diǎn)公式，利用三角形來(lái)求a的取值范圍，并考查了a的取值確定三角形外接圓半徑，利用三角形與拋物線之間的關(guān)系確定三角形某邊上高的取值范圍．