(2013•本溪)在△ABC中,∠ACB=90°,∠A<45°,點(diǎn)O為AB中點(diǎn),一個(gè)足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合,一邊OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,另一邊OD與AC交于點(diǎn)M.
(1)如圖1,當(dāng)∠A=30°時(shí),求證:MC2=AM2+BC2;
(2)如圖2,當(dāng)∠A≠30°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?如果成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不成立,請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論,并說(shuō)明理由;
(3)將三角形ODE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),若直線(xiàn)OD與直線(xiàn)AC相交于點(diǎn)M,直線(xiàn)OE與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)N,連接MN,則MN2=AM2+BN2成立嗎?
答:
成立
成立
(填“成立”或“不成立”)
分析:(1)過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線(xiàn)于F,連接MF,根據(jù)相似求出AF=BC,CO=OF,求出FM=CM,根據(jù)勾股定理求出即可;
(2)過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線(xiàn)于F,連接MF,根據(jù)相似求出AF=BC,CO=OF,求出FM=CM,根據(jù)勾股定理求出即可;
(3)結(jié)論依然成立.
解答:(1)證明:如圖1,過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線(xiàn)于F,連接MF,
∵∠ACB=90°,
∴BC∥AF,
∴△BOC∽△AOF,
AF
BC
=
FO
OC
=
AO
OB

∵O為AB中點(diǎn),
∴OA=OB,
∴AF=BC,CO=OF,
∵∠MOC=90°,
∴OM是CF的垂直平分線(xiàn),
∴CM=MF,
在Rt△AMF中,由勾股定理得:MF2=AM2+AF2=AM2+BC2,
即MC2=AM2+BC2;

(2)解:還成立,
理由是:如圖2,
過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線(xiàn)于F,連接MF,
∵∠ACB=90°,
∴BC∥AF,
∴△BOC∽△AOF,
AF
BC
=
FO
OC
=
AO
OB

∵OA=OB,
∴AF=BC,CO=OF,
∵∠MOC=90°,
∴OM是CF的垂直平分線(xiàn),
∴CM=MF,
在Rt△AMF中,由勾股定理得:MF2=AM2+AF2=AM2+BC2
即MC2=AM2+BC2;

(3)成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直角三角形,相似三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)和定理進(jìn)行推理的能力,題目比較好,證明過(guò)程類(lèi)似.
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