(2013•宜興市一模)已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交與A、B兩點(A點在B點左側),與y軸交與點C(0,-3),對稱軸是直線x=1,直線BC與拋物線的對稱軸交與點D.
(1)求拋物線的函數(shù)關系式.
(2)若平行于x軸的直線與拋物線交于點M、N(M點在N點左側),且MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓的半徑.
(3)若點M在第三象限,記MN與y軸的交點為點F,點C關于點F的對稱點為點E.
①當線段MN=
34
AB時,求tan∠CED的值;
②當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時,請直接寫出點M的坐標.
分析:(1)把點C的坐標代入函數(shù)解析式求出c,再根據(jù)對稱軸求出b,即可得解;
(2)設圓的半徑為r,則MN=2r,再分直線MN在x軸上方與下方兩種情況表示出點N的坐標,然后代入拋物線解析式計算即可求出r;
(3)①令y=0解關于x的一元二次方程求出點A、B的坐標,從而得到AB,再求出MN的長度,根據(jù)拋物線的對稱性求出點N的橫坐標,再代入拋物線解析式求出點N的縱坐標,即點F的縱坐標,再根據(jù)點的對稱求出點E的坐標,設直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0,k、b為常數(shù)),利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,再求出點D的坐標,然后根據(jù)點D、E的坐標,利用銳角的正切的定義列式計算即可得解;
②根據(jù)直線BC的解析式可得∠BCO=45°,然后分∠CDE=90°時,△CDE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質,點F與點D的縱坐標相同,即為點M的縱坐標,然后代入拋物線解析式,計算即可得到點M的坐標;∠CED=90°時,點E與點D的縱坐標相同,根據(jù)對稱性求出點F的縱坐標,即為點M的縱坐標,然后代入拋物線解析式,計算即可得到點M的坐標.
解答:解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C(0,-3),
∴c=-3,
對稱軸為直線x=-
b
2×1
=1,
∴b=-2,
∴拋物線的函數(shù)關系式y(tǒng)=x2-2x-3;

(2)設圓的半徑為r,則直徑MN=2r,
①當直線MN在x軸上方時,點N的坐標為(r+1,r),
代入拋物線解析式得,(r+1)2-2(r+1)-3=r,
整理得,r2-r-4=0,
解得r1=
1+
17
2
,r2=
1-
17
2
(舍去);
②當直線MN在x軸下方時,(r+1)2-2(r+1)-3=-r,
整理得,r2+r-4=0,
解得r3=
-1+
17
2
,r4=
-1-
17
2
(舍去),
所以該圓的半徑為
1+
17
2
-1+
17
2


(3)①令y=0,則x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴點A(-1,0),B(3,0),
∴AB=3-(-1)=4,
∵MN=
3
4
AB,
∴MN=
3
4
×4=3,
根據(jù)二次函數(shù)的對稱性,點N的橫坐標為1+
3
2
=
5
2

代入二次函數(shù)解析式得,y=(
5
2
2-2×
5
2
-3=-
7
4
,
∴點N的坐標為(
5
2
,-
7
4
),
點F的縱坐標為-
7
4

∵點C關于點F的對稱點為E,-
7
4
×2-(-3)=-
1
2

∴點E的坐標為(0,-
1
2
),
設直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0,k、b為常數(shù)),
3k+b=0
b=-3
,
解得
k=1
b=-3
,
∴直線BC的解析式為y=x-3,
x=1時,y=1-3=-2,
∴點D的坐標為(1,-2),
tan∠CED=
1
-
1
2
-(-2)
=
2
3
;

②∵直線BC的解析式為y=x-3,
∴∠BCO=45°,
若∠CDE=90°,則△CDE是等腰直角三角形,
∴點F與點D縱坐標相同,為-2,
∴點M的縱坐標為-2,
代入二次函數(shù)y=x2-2x-3得,x2-2x-3=-2,
整理得,x2-2x-1=0,
解得x1=1-
2
,x2=1+
2
,
∵點M在第三象限,
∴點M的坐標為M(1-
2
,-2);
若∠CED=90°,則點E與點D的縱坐標相同,為-2,
∵點C關于點F的對稱點為E,
∴點F的縱坐標為
-3+(-2)
2
=-
5
2
,
∴點M的縱坐標為-
5
2
,
代入二次函數(shù)y=x2-2x-3得,x2-2x-3=-
5
2
,
整理得,2x2-4x-1=0,
解得x1=1+
6
2
,x2=1-
6
2
,
∵點M在第三象限,
∴點M的坐標為M(1-
6
2
,-
5
2
),
綜上所述,點M的坐標為(1-
2
,-2)或(1-
6
2
,-
5
2
).
點評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,直線與圓的位置關系,銳角三角函數(shù)的定義,點的對稱,綜合性較強,但難度不大,難點在于要分情況討論.
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6
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3
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