Question

【題目】已知：如圖，⊙O的半徑為r，在射線OM上任取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)O重合），如果射線OM上的點(diǎn)P'，滿足OP·OP'=r2，則稱點(diǎn)P'為點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙O的半徑為2．

(1)已知點(diǎn)A (4，0)，求點(diǎn)A關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)A'的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)B'恰好為直線與直線x=4的交點(diǎn)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)C為直線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)C關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)C'在⊙O的內(nèi)部，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的范圍；

(4)若點(diǎn)D為直線x=4上一動點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)D關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)D'的橫坐標(biāo)t的范圍．

Answer 1

【答案】（1）A’(1，0)；（2）B(，)；（3）m >1或 m <-1；（4）0<t≤1．

【解析】

（1）由反演點(diǎn)的定義可求解；
（2）先求出點(diǎn)B'坐標(biāo)，可求OB'的長，由反演點(diǎn)的定義可求OB的長，即可求解；
（3）由題意可得OC'＜2，且OCOC'=4，可得OC＞2，即點(diǎn)C在⊙O的外部，即可求解；
（4）由題意可得OD≥4，且ODOD'=4，可得0＜OD'≤1，即可求解．

（1）∵點(diǎn)A （4，0），
∴OA=4，
∵點(diǎn)A'為點(diǎn)A關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，
∴OAOA'=22=4，
∴OA'=1，
∴A'坐標(biāo)（1，0）；
（2）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵B'恰好為直線與直線x=4的交點(diǎn)，

∴，

∴ 點(diǎn)坐標(biāo)為(4，)．

∴OA=4，AB'=，

∴ ，

∵，

，

∵點(diǎn)B'為點(diǎn)B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，
∴OBOB'=22=4，
∴OB=，
∵∠OBE=90°-∠BOE=30°，
∴，，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(，)；

（3）∵點(diǎn)C為直線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)C關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)C'在⊙O的內(nèi)部，

∴，

∵OCOC'=4，

∴OC，

∴點(diǎn)C在⊙O的外部，直線與⊙O的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為，

∴ m的取值范圍是 m >1或 m <-1．

（4）∵點(diǎn)D為直線上一動點(diǎn)，
∴OD≥4，
∵ODOD'=4，
∴0＜OD'≤1，
∴D'的橫坐標(biāo)t的范圍是：0＜t≤1．