Question

某工程機(jī)械廠根據(jù)市場(chǎng)需求，計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的大型挖掘機(jī)共100臺(tái)，該廠所籌生產(chǎn)資金不少于22 400萬(wàn)元，但不超過22 500萬(wàn)元，且所籌資金全部用于生產(chǎn)此兩型挖掘機(jī)，所生產(chǎn)的此兩型挖掘機(jī)可全部售出，此兩型挖掘機(jī)的生產(chǎn)成本和售價(jià)如下表：

型號(hào)	A	B
成本（萬(wàn)元/臺(tái)）	200	240
售價(jià)（萬(wàn)元/臺(tái)）	250	300

（1）該廠對(duì)這兩型挖掘機(jī)有哪幾種生產(chǎn)方案？
（2）該廠如何生產(chǎn)能獲得最大利潤(rùn)？
（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每臺(tái)B型挖掘機(jī)的售價(jià)不會(huì)改變，每臺(tái)A型挖掘機(jī)的售價(jià)將會(huì)提高m萬(wàn)元（m＞0），該廠應(yīng)該如何生產(chǎn)獲得最大利潤(rùn)？（注：利潤(rùn)=售價(jià)-成本）

Answer 1

【答案】分析：（1）在題目中，每種型號(hào)的成本及總成本的上限和下限都已知，所以設(shè)生產(chǎn)A型挖掘機(jī)x臺(tái)，則B型挖掘機(jī)（100-x）臺(tái)的情況下，可列不等式22400≤200x+240（100-x）≤22500，解不等式，取其整數(shù)值即可求解；
（2）在知道生產(chǎn)方案以及每種利潤(rùn)情況下可列函數(shù)解析式W=50x+60（100-x）=6000-10x，利用函數(shù)的自變量取值范圍和其單調(diào)性即可求得函數(shù)的最值；
（3）結(jié)合（2）得W=（50+m）x+60（100-x）=6000+（m-10）x，在此，必須把（m-10）正負(fù)性考慮清楚，即m＞10，m=10，m＜10三種情況，最終才能得出結(jié)論．即怎樣安排，完全取決于m的大�。�
解答：解：（1）設(shè)生產(chǎn)A型挖掘機(jī)x臺(tái)，則B型挖掘機(jī)（100-x）臺(tái)，
由題意得22400≤200x+240（100-x）≤22500，
解得37.5≤x≤40．
∵x取非負(fù)整數(shù)，
∴x為38，39，40．
∴有三種生產(chǎn)方案
①A型38臺(tái)，B型62臺(tái)；
②A型39臺(tái)，B型61臺(tái)；
③A型40臺(tái)，B型60臺(tái)．

（2）設(shè)獲得利潤(rùn)W（萬(wàn)元），由題意得W=50x+60（100-x）=6000-10x
∴當(dāng)x=38時(shí)，W_最大=5620（萬(wàn)元），
即生產(chǎn)A型38臺(tái)，B型62臺(tái)時(shí)，獲得最大利潤(rùn)．

（3）由題意得W=（50+m）x+60（100-x）=6000+（m-10）x
總之，當(dāng)0＜m＜10，則x=38時(shí)，W最大，即生產(chǎn)A型38臺(tái)，B型62臺(tái)；
當(dāng)m=10時(shí)，m-10=0則三種生產(chǎn)方案獲得利潤(rùn)相等；
當(dāng)m＞10，則x=40時(shí)，W最大，即生產(chǎn)A型40臺(tái)，B型60臺(tái)．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，試題的特色是在要求學(xué)生能讀懂題意，并且會(huì)用函數(shù)知識(shí)去解題，以及會(huì)討論函數(shù)的最大值．要結(jié)合自變量的范圍求函數(shù)的最大值，并要把（m-10）正負(fù)性考慮清楚，分情況討論問題．