Question

【題目】如圖所示，△ABC是直角三角形，∠A=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的動點，且DE⊥DF．

（1）如圖1，AB=AC，BE=12，CF=5，求線段EF的長．

（2）如圖2，若AB≠AC，寫出線段EF與線段BE、CF之間的等量關(guān)系，并寫出證明過程．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）EF2=BE2+CF2，證明見解析.

【解析】

（1）首先連接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，AD是斜邊的中線，可得：AD＝DC，∠EAD＝∠C＝45°，AD⊥BC即∠CDF＋∠ADF＝90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA＋∠ADF＝90°，故∠EDA＝∠CDF，從而可證：△AED≌△CFD，所以可得：AE＝CF，AF＝BC，即可得出答案；

（2）延長ED到P，使DP＝DE，連接FP，CP，利用SAS得到三角形BED與三角形CPD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BE＝CP，再利用SAS得到撒尿性EDF和三角形PDF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF＝FP，利用等角的余角相等得到∠FCP為直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可得證．

（1）如圖1，連接AD，

∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD為BC邊的中線，

∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，

又∵DE⊥DF，AD⊥DC，

∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，

∴∠EDA=∠CDF

在△AED與△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA）．

∴AE=CF，

同理AF=BE．

∵∠EAF=90°，

∴EF2=DE2+DF2，

∴BE2+CF2=EF2，

∴EF==13；

（2）EF2=BE2+CF2；

如圖2，延長ED到P，使DP=DE，連接FP，CP，

在△BED和△CPD中， ，

∴△BED≌△CPD（SAS），

∴BE=CP，∠B=∠CPD，

在△EDF和△PDF中，

，

∴△EDF≌△PDF（SAS），

∴EF=FP，

∵∠B=∠DCP，∠A=90°，

∴∠B+∠ACB=90°，

∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，

在Rt△FCP中，根據(jù)勾股定理得：CF2+CP2=PF2，

∵BE=CP，PF=EF，

∴EF2=BE2+CF2．