Question

如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．
（1）求證：AB•AF=CB•CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是線段DE上的動點．設DP=x cm，梯形BCDP的面積為ycm²．
①求y關于x的函數關系式．
②y是否存在最大值？若有求出這個最大值，若不存在請說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵AD=CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF．
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B．
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC．
∴=，即=，
∴AB•AF=CB•CD；

（2）解：連接PB，
①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，
∴AC===12，
∴CF=AF=6．
∴y=（x+9）×6=3x+27；
②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．
AE=BE=AB=，EF=．
由∠EAD=∠AFE=90°，∠AEF=∠DEA，得△AEF∽△DEA．
Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8．
∴DE=DF+FE=8+=．
∵y=3x+27（0≤x≤），函數值y隨著x的增大而增大，
∴當x=時，y有最大值，此時y=．
分析：（1）先根據AD=CD，DE⊥AC判斷出DE垂直平分AC，再由線段垂直平分線的性質及直角三角形的性質可得出∠DCF=∠DAF=∠B，在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B可知△DCF∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例即可得出答案；
（2）①先根據勾股定理求出AC的長，再由梯形的面積公式即可得出x、y之間的函數關系式；
②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例可求出AB、EF的長，進而可得出△AEF∽△DEA及DF的長，根據DE=DF+FE可求出DE的長，由①中的函數關系式即可得出結論．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到一次函數的性質及勾股定理，熟知以上知識是解答此題的關鍵．