Question

【題目】如圖，⊙O中，點(diǎn)A為 中點(diǎn)，BD為直徑，過A作AP∥BC交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．

（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若 ，AB=6，求sin∠ABD的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)AO，交BC于點(diǎn)E．

∵點(diǎn)A是 的中點(diǎn)

∴AO⊥BC，

又∵AP∥BC，

∴AP⊥AO，

∴AP是⊙O的切線

（2）解：解：∵AO⊥BC， ，

∴ ，

又∵AB=6

∴sin∠BAO= ，

∵OA=OB

∴∠ABD=∠BAO，

∴ sin∠ABD=sin∠BAO= ．

【解析】（1）由垂徑定理可得AO⊥BC，再由AP∥BC，可得AP⊥AO，切線得證。
（2）由垂徑定理易得BE的長(zhǎng)，結(jié)合AB的長(zhǎng)，易得sin∠BAO的值，再利用半徑相等得到∠ABD=∠BAO，從而 sin∠ABD=sin∠BAO得到最后結(jié)果。
【考點(diǎn)精析】利用切線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．