在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,線段ADBC邊上的中線.

(1)如圖(Ⅰ),將△ADC沿直線BC平移,使點D與點C重合,得到△FCE,連結(jié)AF

求證:四邊形ADEF是等腰梯形;

(2)如圖(Ⅱ),在(1)的條件下,再將△FCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°)連結(jié)AFDE

①當ACCF時,求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù);②當α=60°時,請判斷四邊形ADEF的形狀,并給予證明.

答案:
解析:

  (1)證明:∵△ADC沿直線BC平移得到△FCE,

  ∴ADFC,且ADFC,∴四邊形ADCF是平行四邊形,

  ∴AFDC,即AFDE, 1分

  ∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴∠ACD=60°,

  ∵ADBC邊上的中線,∴AD=DC, 2分

  ∴△ADC是等邊三角形, 3分

  ∵△ADC≌△FCE,∴△FCE是等邊三角形,

  ∴AD=FE, 4分

  ∵AFDE,∴四邊形ADEF是等腰梯形. 5分

  (2)①解:由(1)可知∠1=60°, 6分

  當ACCF時,∠2=90°-60°=30°,

  ∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為30°, 7分

 、谒倪呅ADEF為矩形, 8分

  由(1)可知△ADC和△FCE是全等正三角形,

  ∴CACECDCF, 9分

  當α=60°時,如圖(Ⅲ),∠ACF=60°+60°=120°,

  ∴∠ACE=120°+60°=180°,∴A、C、E三點共線,同理:D、C、F三點共線, 10分

  ∴AEDF, 11分

  ∴四邊形ADEF為矩形. 12分


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