Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，點A和點B的坐標分別為A（4，0）、B（0，2），將△ABO繞點P（2，2）順時針旋轉得到△OCD，點A、B和O的對應點分別為點O、C和D
（1）畫出△OCD，并寫出點C和點D的坐標
（2）連接AC，在直線AC的右側取點M，使∠AMC=45°
①若點M在x軸上，則點M的坐標為（6，0）．
②若△ACM為直角三角形，求點M的坐標
（3）若點N滿足∠ANC＞45°，請確定點N的位置（不要求說明理由）

Answer 1

分析 （1）先確定出OA，OB，再由旋轉的性質得出OD=4，CD=2，即可得出結論；
（2）先構造出滿足條件的點M的位置，利用等腰三角形的性質和等腰直角三角形的性質即可得出結論；
（3）同（2）①的方法得出結論．

解答 解：
（1）如圖1，

∵點A和點B的坐標分別為A（4，0）、B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
由旋轉知，△POD≌△PAO，△PCD≌△PBO，
∴OD=OA=4，CD=OB=2，
∴C（2，4），D（0，4）；
（2）①如圖2，

∵A（4，0），C（2，4），
∴AC=2$\sqrt{5}$，
以AC為斜邊在直線AC右側作等腰直角三角形ACO'，以O'為圓心，O'A為半徑作圓，
∴∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AO'C=45°，
過點O'作O'G⊥AC，
∵A（4，0），C（2，4），
∴G（3，2），
∴直線AC的解析式為y=-2x+8，
∴直線O'G的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
設點O'的坐標為（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∴O'G²=（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$-2）²=（$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{5}$）²，
∴m=5或m=1（點O'在直線AC右側，所以舍去），
∴O'（5，3），
∴O'A=$\sqrt{10}$，
在Rt△AO'N中，O'N=3，AN=$\sqrt{O'{A}^{2}-O'{N}^{2}}$=1，
∴AM=2AN=2，
∴M（6，0）；
故答案為（6，0），
②如圖3，

當∠CAM為直角時，
分別過點C，M作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．
∵CO=CA，
∴OE=AE=$\frac{1}{2}$OA=2
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵∠CAE+∠FAM=90°，
∴∠ACE=∠FAM，
在△ACE和△MAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠MFA}\\{∠ACE=∠MAF}\\{AC=AM}\end{array}\right.$
∴△CEA≌△AFM，
∴MF=AE=2，AF=CE=4．
∴OF=8，
∴M（8，2）；
當∠ACM為直角時，
同理可得M（6，6）；
綜上所述，點M的坐標為（8，2）或（6，6）．

（3）如圖3，

∵A（4，0），C（2，4），
∴AC=2$\sqrt{5}$，
以AC為斜邊在直線AC右側作等腰直角三角形ACO'，以O'為圓心，O'A為半徑作圓，
∴∠ANC＜$\frac{1}{2}$∠AO'C=45°，
過點O'作O'G⊥AC，
∵A（4，0），C（2，4），
∴G（3，2），直線AC的解析式為y=-2x+8，
∴直線O'G的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
設點O'的坐標為（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∴O'G²=（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$-2）²=（$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{5}$）²，
∴m=5或m=1，
∴O'（5，3）或（1，1），
∵A（4，0），
∴O'A=$\sqrt{10}$，
∴點N在以點（5，3）或點（1，1）為圓心，以$\sqrt{10}$為半徑的圓內(nèi)．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的和等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，圓周角定理，解本題的關鍵是構造出滿足條件的圖形，是一道比較好的中考�？碱}．