Question

如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD=∠ECA．
（1）求證：AC²=BC•CD；
（2）若E是△ABC的重心，求AC²：AD²的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE進而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；
（2）利用重心的性質(zhì)得出BC=2BD=2CD，，進而得出△BAD∽△ACE，即可得出線段之間關系求出即可．
解答：（1）證明：∵，∠BAD=∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴，
∴AC²=BC•CD．

（2）解：∵△BAD∽△ACE，
∴∠BDA=∠AEC，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵E是△ABC的重心，
∴BC=2BD=2CD，，
∴AC²=BC•CD=2CD²，
∵△BAD∽△ACE，
∴，
∴，
∴，
∴．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△BAD∽△ACE是解題關鍵．