Question

如圖．在△ABC中，BC＞AC，點D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于點F，點E是AB的中點，連接EF．
（1）求證：EF∥BC；
（2）若四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積．

Answer 1

解：（1）∵DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于F，
∴F為AD的中點，
∵點E是AB的中點，
∴EF為△ABD的中位線，
∴EF∥BC；

（2）∵EF為△ABD的中位線，
∴，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∵S_△AEF：S_△ABD=1：4，
∴S_△AEF：S_{四邊形BDEF}=1：3，
∵四邊形BDFE的面積為6，
∴S_△AEF=2，
∴S_△ABD=S_△AEF+S_{四邊形BDEF}=2+6=8．
分析：（1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質得到點F是AD的中點，然后得到EF是△ABD的中位線，利用中位線的定理證得到平行即可；
（2）根據上題證得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面積的比等于相似比的平方求的△ABD的面積．
點評：本題主要考查等腰三角形的判定和性質、三角形中位線的定義和性質、相似三角形的判定和性質，解題的關鍵在于求證EF為中位線，S_△AEF：S_△ABD=1：4．