Question

【題目】定義：在等腰三角形中，對于頂角的每一個確定的值，其底邊與腰的比值都是唯一確定的，這個比值是頂角的正對函數.例如：圖①，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對函數記作sadA，sadA＝或sadA＝.

（1）在圖①中，若∠B＝60°，則sadA＝ .

（2）如圖②，在△ABC中，AB＝AC，若∠BAC＝120°，求sad∠BAC.

（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，直接寫出三個內角的正對函數值.

Answer 1

【答案】（1）1（2）（3）， ， ．

【解析】試題分析：

(1) 由題意可知△ABC為等邊三角形. 等邊三角形三邊相等，由正對函數的定義知∠A的正對函數值為1.

(2) 要求∠BAC的正對函數值，就是要求線段BC與線段AB或AC的比. 由于題目中沒有給出線段長度的具體數值，所以可以將線段AB或AC的長設為2a (其中a>0). 利用BC邊上的高AD，通過解Rt△ABD的方式求得線段BD的長. 利用線段BD的長容易得到線段BC的長，進而求得∠BAC的正對函數值.

(3) 要求該直角三角形三個內角的正對函數值，應該以每一個內角為頂角依次構造等腰三角形，求解所構造的等腰三角形的底邊和腰的長度，最后根據正對函數的定義得到要求的值.

在構造等腰三角形時，可以在原直角三角形的基礎上，通過在適當的邊上截取相應的邊長即可構造出三個符合要求的等腰三角形.

試題解析：

(1) ∵在△ABC中，AB=AC，

又∵∠B=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC.

∴.

故本題應填寫：1.

(2)

如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D.

設AB=AC=2a (a>0).

∵∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，

∴在等腰三角形ABC中，BD=CD，∠B=∠C=30°.

∴在Rt△ADB中， .

∴CD=BD= ，

∴，

∴.

(3) ， ， . 具體求解過程如下.

根據題意畫出如圖①所示的Rt△ABC.

設AB=5a (a>0)，則根據可知，BC=4a，AC=3a， .

下面求解∠C的正對函數值.

如圖②，在線段CB上截取CD=CA，則△ACD是以∠C為頂角的等腰三角形.

∵∠C=90°，CD=CA=3a，

∴在Rt△ACD中， .

∴.

下面求解∠A的正對函數值.

如圖③，在線段AB上截取AE=AC，則△ACE是以∠A為頂角的等腰三角形.

過點E作EF⊥AC，垂足為F.

∵EF⊥AC，AE=AC=3a，

∴在Rt△AFE中， ， .

∴，

∴在Rt△CFE中， ，

∴.

下面求解∠B的正對函數值.

如圖④，在線段AB上截取BG=BC，則△BCG是以∠B為頂角的等腰三角形.

過點G作GH⊥AC，垂足為H.

∵BG=BC=4a，AB=5a，

∴AG=AB-BG=5a-4a=a.

∵GH⊥AC，AG=a，

∴在Rt△AHG中， ， .

∴，

∴在Rt△CHG中， ，

∴.