Question

如圖，點P是圓上一動點，弦AB=

3

cm，PC是∠APB的平分線，∠BAC=30°．
（1）當∠PAC等于多少度時，四邊形PACB有最大面積？最大面積是多少？
（2）當PA的長為多少時，四邊形PACB是梯形？說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）先求得AC=BC，再根據已知條件得S_{四邊形PACB}=S_△ABC+S_△PABS_△ABC，當S_△PAB最大時，四邊形PACB面積最大，求出PC=2，從而計算出最大面積；
（2）已知四邊形PACB為梯形，分兩種情況：AC∥PB或PA∥BC，求出PA的長．

解答：解：（1）∵PC平分∠APB，
∴∠APC=∠BPC，
∴AC=BC
由AB=

3

，∠BAC=30°，求得AC=BC=1，
∵S_{四邊形PACB}=S_△ABC+S_{△PAB，}
S_△ABC為定值，
當S_△PAB最大時，四邊形PACB面積最大，
由圖可知四邊形PACB由△ABC和△PAB組成
且△ABC面積不變，故要使四邊形PACB面積最大，只需求出面積最大的△PAB即可
在△PAB中，AB邊不變，其最長的高為過圓心O與AB垂直（即AB的中垂線）與圓O交點P，此時四邊形PACB面積最大．此時△PAB為等邊三角形，此時PC應為圓的直徑∠PAC=90°
∵∠APC=∠BAC=30°
∴PC=2AC=2，
∴四邊形PACB的最大面積為

1

2

×

3

×2=

3

(cm2)；（6分）

（2）若四邊形PACB為梯形，則當AC∥PB時
由（1）知AC=BC=1，∠CAB=∠PBA=30°，
∴PA=BC=1，（8分）
當PA∥BC時，則∠PAB=∠ABC=30°，
在△PBA中，∠APB=60°，∠PAB=∠ABC=30°，
∴∠ABP=180°-60°-30°=90°，
此時PA為圓的直徑，由（1）知PA=2，
∴當PA=1或2時，四邊形PACB為梯形（12分）．

點評：本題考查了圓周角定理和梯形的性質，以及圓心角、弧、弦之間的關系，根據題意分類討論是解題的關鍵．