Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=8，∠ABC=60°，BD為對角線，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿折線段A-B-C以每秒4個單位長度向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BD以每秒2個單位長度向D點(diǎn)運(yùn)動，若運(yùn)動的時間為t秒，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．
（1）求BC、BD的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時（與A、B不重合），求當(dāng)t為何值時，四邊形AMND的面積等于為？
（3）求當(dāng)t為何值時，△BMN與△ABD相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)：兩腰相等，兩個底角相等，來作答；
（2）過M作MH⊥BN于H，則AM=4t，BM=8-4t，MH=4-2t，BN=2t，然后根據(jù)題意列出代數(shù)式求值；
（3）根據(jù)相似三角形的不同的對應(yīng)角與對應(yīng)邊分別來解答．
解答：解：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=8，∠ABC=60°，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，
∴∠BDC=180°-60°-30°=90°，
∴BC=2CD=16，BD=8；

（2）過點(diǎn)D作梯形ABCD的高線h，則h=4，
∴S_梯形ABCD=12（AD+BC）h
=12×（8+16）×4
=48；
S_△BDC=12BC•h
=12×16×4
=32；
∴S_△ABD=S_梯形ABCD-S_△BDC=16；
過M作MH⊥BN于H，則AM=4t，BM=8-4t，MH=12BM=4-2t，BN=2t，
當(dāng)0＜4t＜8，即0＜t＜2時，點(diǎn)M在AB上，則
S_{四邊形AMND}=16-12BN•MH=16-12×2t•（4-2t）=2t²-4t+16（6分）
2t²-4t+16=，（7分）
解得：t₁=，t₂=（9分）

（3）△BMN與△ABD相似且∠ABD=∠MBN=30°
①當(dāng)△MBN∽△ABD時，
===，
當(dāng)0＜t＜2時，M在AB上，故；
當(dāng)2＜t＜4時，M在BC上，故t₂=4；
②當(dāng)△NBM∽△ABD時，
，即，
當(dāng)0＜t＜2時，M在AB上，故t₃=；
當(dāng)2＜t＜4時，M在BC上，故t₄=-4（舍去）．
綜上所述，當(dāng)、t₂=4或t₃=時，△BMN與△ABD相似．
點(diǎn)評：總結(jié)：（1）等腰梯形的性質(zhì)：兩腰相等、兩個底角相等；對角線平分對角；
（2）相似三角形的判定和性質(zhì)，①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．