Question

已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB垂足為D，BE⊥AC垂足為E，連接DE，點(diǎn)G、F分別是BC、DE的中點(diǎn)．
求證：GF⊥DE．

Answer 1

分析：作輔助線（連接DG、EG）構(gòu)建Rt△BCD和Rt△BCE斜邊上的中線，然后根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半求得DG=EG=

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2

BC，從而判定△DEG是等腰三角形；最后根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知GF⊥DE．

解答：證明：連接DG、EG．
∵CD⊥AB，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，
∴在Rt△BCD中，DG=

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2

BC（直角三角形的斜邊上的中線是斜邊的一半）．（2分）
同理，EG=

1

2

BC．（2分）
∴DG=EG（等量代換）．（1分）
∵F是DE的中點(diǎn)，
∴GF⊥DE．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)．熟練運(yùn)用等腰直角三角形“三線合一”的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．