Question

【題目】如圖，菱形ABCD，∠A=60°，AB=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上沿某一方向運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，且DE=DF，當(dāng)點(diǎn)E從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，線段EF的中點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路程為_____.

Answer 1

【答案】3或3

【解析】分析：

連接AC、BD相交于點(diǎn)P，由已知條件易得AC=，BD=6，再根據(jù)題意，分①點(diǎn)F由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；②點(diǎn)F由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)兩種情況，結(jié)合已知條件進(jìn)行分析解答即可.

詳解：

如圖，連接AC、BD相交于點(diǎn)P，

∵四邊形ABCD是菱形，AB=6，∠DAB=60°，

∴∠BAC=30°，AC=2AP，BD=2PB，△ABD和△CBD都是等邊三角形，

∴AP=AB·cos30°=，BP=AB·sin30°=3，AD=BD=CD，

∴AC=.

（1）若點(diǎn)F是由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的，則由圖1和題意可知，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，此時(shí)點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)M重合；而當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F移動(dòng)到與點(diǎn)C重合，此時(shí)點(diǎn)O與線段BC的中點(diǎn)N重合，

∴在點(diǎn)E由點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，且點(diǎn)F由點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)的過(guò)程后，線段EF的中點(diǎn)O移動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線是△ABC的中位線MN，

∴在這種情況下，點(diǎn)O移動(dòng)的路程=MN=AC=；

（2）若點(diǎn)F是由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的，則由圖2和題意可知，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，此時(shí)點(diǎn)O與點(diǎn)P重合；而當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F也移動(dòng)到與點(diǎn)B重合，此時(shí)點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，

∴在點(diǎn)E由點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，且點(diǎn)F由點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)的過(guò)程中，線段EF的中點(diǎn)O移動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線是線段PB，

∴在這種情況下，點(diǎn)O移動(dòng)的路程=PB=3.

故答案為：或3.