Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點A，C的坐標(biāo)分別為A（-3，0），C（1，0），tan∠BAC=

3

4

．
（1）求過點A，B的直線的函數(shù)表達式；
（2）在x軸上找一點D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設(shè)AP=DQ=m，問是否存在這樣的m，使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)過點A，B的直線的函數(shù)表達式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法可解得k=

3

4

，b=

9

4

，即直線AB的函數(shù)表達式為y=

3

4

x+

9

4

；
（2）過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，D點為所求．又tan∠ADB=tan∠ABC=

4

3

，CD=BC÷tan∠ADB=3÷

4

3

=

9

4

，可求OD=OC+CD=

13

4

，所以D（

13

4

，0）；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，當(dāng)PQ∥BD時，△APQ∽△ABD，解得m=

25

9

；當(dāng)PQ⊥AD時，△APQ∽△ADB，則解得m=

125

36

．

解答：解：（1）∵點A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=

3

4

×4=3，B點坐標(biāo)為（1，3），
設(shè)過點A，B的直線的函數(shù)表達式為y=kx+b，
由

0=k×(-3)+b 3=k+b

得k=

3

4

，b=

9

4

，
∴直線AB的函數(shù)表達式為y=

3

4

x+

9

4

（2）如圖，過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D點為所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC=

4

3

，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷

4

3

=

9

4

，
∴OD=OC+CD=

13

4

，∴D（

13

4

，0）；

（3）這樣的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如圖1，
當(dāng)PQ∥BD時，△APQ∽△ABD，則

m

5

=

3+ 13 4 -m

3+ 13 4

，
解得m=

25

9

，
如圖2，
當(dāng)PQ⊥AD時，△APQ∽△ADB，
則

m

3+ 13 4

=

3+ 13 4 -m

5

，
解得m=

125

36

．

點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．