Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（6，0），B（0.8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，DE，以CD，DE為邊作?CDEF．
（1）當(dāng)0＜m＜8時(shí)，求CE的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)m=3時(shí)，是否存在點(diǎn)D，使?CDEF的頂點(diǎn)F恰好落在y軸上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)D在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若存在唯一的位置，使得?CDEF為矩形，請(qǐng)求出所有滿足條件的m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明△BCE∽△BAO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得；
（2）證明△EDA∽△BOA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得；
（3）分m＞0，m=0和m＜0三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)m=0時(shí)，一定成立，當(dāng)m＞0時(shí)，分0＜m＜8和m＞8兩種情況，利用三角函數(shù)的定義即可求解．當(dāng)m＜0時(shí)，分點(diǎn)E與點(diǎn)A重合和點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，兩種情況進(jìn)行討論．
解答：解：（1）∵A（6，0），B（0，8）．
∴OA=6，OB=8．
∴AB=10，
∵∠CEB=∠AOB=90°，
又∵∠OBA=∠EBC，
∴△BCE∽△BAO，
∴=，即=，
∴CE=-m；

（2）∵m=3，
∴BC=8-m=5，CE=-m=3．
∴BE=4，
∴AE=AB-BE=6．
∵點(diǎn)F落在y軸上（如圖2）．
∴DE∥BO，
∴△EDA∽△BOA，
∴=即=．
∴OD=，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）．

（3）取CE的中點(diǎn)P，過P作PG⊥y軸于點(diǎn)G．
則CP=CE=-m．
（Ⅰ）當(dāng)m＞0時(shí)，
①當(dāng)0＜m＜8時(shí)，如圖3．易證∠GCP=∠BAO，
∴cos∠GCP=cos∠BAO=，
∴CG=CP•cos∠GCP=（-m）=-m．
∴OG=OC+CG=m+-m=m+．
根據(jù)題意得，得：OG=CP，
∴m+=-m，
解得：m=；
②當(dāng)m≥8時(shí)，OG＞CP，顯然不存在滿足條件的m的值．
（Ⅱ）當(dāng)m=0時(shí)，即點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合（如圖4）．
（Ⅲ）當(dāng)m＜0時(shí)，
①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，（如圖5），
易證△COA∽△AOB，
∴=，即=，
解得：m=-．
②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，（如圖6）．
OG=OC-CG=-m-（-m）
=-m-．
由題意得：OG=CP，
∴-m-=-m．
解得m=-．
綜上所述，m的值是或0或-或-．
點(diǎn)評(píng)：本題是相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行分類是關(guān)鍵．