Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-4，3）、B（2，0）兩點，對稱軸為y軸，經(jīng)過點C（0，-2）的直線l與x軸平行，P（m，n）是拋物線上的動點，O為坐標(biāo)原點．
（1）求直線AB和拋物線的函數(shù)解析式；
（2）以A為圓心，AO為半徑畫⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）設(shè)PO=d₁，點P到直線l的距離為d₂，試探索d₁、d₂間的數(shù)量關(guān)系；
（4）D點在直線AB上，D點的橫坐標(biāo)為-2，當(dāng)△PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；根據(jù)拋物線的對稱軸為y軸，可得拋物線經(jīng)過（-4，3），（2，0），（-2，0）三點，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)A點坐標(biāo)可求出半徑OA的長，然后判斷A到直線l的距離與半徑OA的大小關(guān)系即可；
（3）首先設(shè)P（x，x²-1），即可求得d₁、d₂的長，繼而可求得d₁、d₂間的數(shù)量關(guān)系；
（4）根據(jù)直線AB的解析式可求出D點的坐標(biāo)，即可得到OD的長，由于OD的長為定值，若△POD的周長最小，那么PD+OP的長最小，可過P作y軸的平行線，交直線l于M；首先證PO=PM，此時PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小時，應(yīng)有PD+PM=DM，即D、P、M三點共線，由此可求得P點的坐標(biāo)；又由S_{四邊形CODP}=S_△POD+S_△POC，即可求得答案．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為y=-x+1；
由題意知：拋物線的對稱軸為y軸，則拋物線經(jīng)過（-4，3），（2，0），（-2，0）三點；
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）（x+2），
則有：3=a（-4-2）（-4+2），
解得：a=，
∴拋物線的解析式為：y=x²-1；

（2）∵A（-4，3），
∴OA==5；
∵A到直線l的距離為：3-（-2）=5；
∴⊙A的半徑等于圓心A到直線l的距離，
即直線l與⊙A相切；

（3）d₁=d₂．
理由：∵P（m，n）是拋物線上的動點，
∴設(shè)P（x，x²-1），
∴PO=d₁===x²+1，點P到直線l的距離為d₂=x²-1-（-2）=x²+1，
∴d₁=d₂；

（4）過P作PM∥y軸，交直線l于M；
則P（m，n），M（m，-2）；
∴PO²=m²+n²，PM²=（n+2）²；
∵n=m²-1，即m²=4n+4；
∴PO²=n²+4n+4=（n+2）²，
∴PO²=PM²，
即PO=PM；
∵D點的橫坐標(biāo)為-2，
∴D（-2，2），則OD的長為定值；
若△PDO的周長最小，則PO+PD的值最�。�
∵PO+PD=PD+PM≥DM，
∴PD+PO的最小值為DM，
即當(dāng)D、P、M三點共線時PD+PM=PO+PD=DM；
此時點P的橫坐標(biāo)為-2，代入拋物線的解析式可得y=1-1=0，
即P（-2，0）；
∴S_{四邊形CODP}=S_△POD+S_△POC=×2×2+×2×2=4．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、兩點間的距離公式、切線的判定以及圖形面積的求解方法．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．