Question

（2004•泉州）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，∠A=60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線路AB?BD做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)沿線路DC?CB?BA做勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）已知點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的速度分別為2cm/秒和2.5cm/秒，經(jīng)過12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點(diǎn)，試判斷△AMN的形狀，并說明理由；
（2）如果（1）中的點(diǎn)P、Q有分別從M、N同時(shí)沿原路返回，點(diǎn)P的速度不變，點(diǎn)Q的速度改為vcm/秒，經(jīng)過3秒后，P、Q分別到達(dá)E、F兩點(diǎn)，若△BEF與題（1）中的△AMN相似，試求v的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得△ABD是等邊三角形，經(jīng)過12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點(diǎn)，則AP，BF都可以求出，就可以判斷N，F(xiàn)的位置，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，判斷△AMN的形狀；
（2）根據(jù)△BEF與△AMN相似得到△BEF為直角三角形，就可以求出S_Q的長(zhǎng)，已知時(shí)間，就可以求出速度．
解答：解：（1）∵∠A=60°，AD=AB=12，
∴△ABD為等邊三角形，故BD=12，
又∵V_P=2cm/s
∴S_P=V_Pt=2×12=24（cm），
∴P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)，即M與D重合v_Q=2.5cm/s S_Q=V_Qt=2.5×12=30（cm），
∴N點(diǎn)在AB之中點(diǎn)，即AN=BN=6（cm），
∴∠AND=90°即△AMN為直角三角形；

（2）V_P=2m/s t=3s
∴S_P=6cm，
∴E為BD的中點(diǎn)，
又∵△BEF與△AMN相似，
∴△BEF為直角三角形，且∠EBF=60°，∠BPF=30°，
①Q(mào)到達(dá)F₁處：S_Q=BP-BF₁==3（cm），故V_Q===1（cm/秒）；
②Q到達(dá)F₂處：S_Q=BP=9，故V_Q==（cm/秒）；
③Q到達(dá)F₃處：S_Q=6+2BP=18，故V_Q===6（cm/秒）．
點(diǎn)評(píng)：本題是圖形與函數(shù)相結(jié)合的問題，正確根據(jù)條件得出方程是解題關(guān)鍵．