Question

如圖，⊙P與⊙Q外切于點(diǎn)N，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N的直線AB交⊙P于A，交⊙Q于B，以經(jīng)過(guò)⊙P的直徑AC所在直線為y軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．
（1）求證：OB是⊙Q的切線；
（2）如果OC=CP=PA=2，⊙Q在始終保持與⊙P外切、與x軸相切的情況下運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)M是所求函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，連接PE、PM．問(wèn)是否存在△PEO與△PMF相似？若存在，求出ME的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先作輔助線：連接PQ、QB，則PQ過(guò)點(diǎn)N，即可得：∠PAN=∠PNA=∠QNB=∠QBN，則可證得：QB∥AO，又由A0⊥OB，證得：QB⊥OB，則問(wèn)題得證；
（2）作QD⊥y軸，在Rt△PDQ中，利用勾股定理即可求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由∠POE=∠PFM=90°，可知要使△PE0與△PMF相似，只要

PF

FM

=

PO

OE

或

PF

FM

=

OE

PO

即可，分別從這兩方面去求解即可求得ME的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接PQ、QB，則PQ過(guò)點(diǎn)N，
∵PA=PN，QN=QB，
∴∠PAN=∠PNA=∠QNB=∠QBN，
∴QB∥AO．
又A0⊥OB，
∴QB⊥OB．
又QB是半徑，
∴OB是⊙Q的切線．

（2）解：作QD⊥y軸，垂足為D．
則PD=|4-y|，QD=|x|，PQ=|2+y|，
在Rt△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，
∴|4-y|²+|x|²=|2+y|²，
∴y=

1

12

x2+1；

（3）解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a、b），則a≠O，b＞1．
PF=|b-4|，F(xiàn)M=OE=|a|．
∵∠POE=∠PFM=90°，
∴要使△PE0與△PMF相似，只要

PF

FM

=

PO

OE

或

PF

FM

=

OE

PO

即可．
由

PF

FM

=

PO

OE

得：

|b-4|

|a|

=

4

|a|

，
∴|b-4|=4，即b-4=±4，
∴b₁=8，b₂=O（不合題意，舍去），即ME=8．
由

PF

FM

=

OE

PO

，得：

|b-4|

|a|

=

|a|

4

，
∴a²=4|b-4|，
又b=

1

12

a2+1，a²=12b-12，
∴12b-12=4|b-4|．
即3b-3=|b-4|，
∴b1=

-1

2

（不合題意，舍去），b2=

7

4

，
∴ME=

7

4

．
所以，存在△PEO與△PMF相似，這時(shí)ME的長(zhǎng)為8或

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的性質(zhì)，切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形也很復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的添加方法．