【答案】
分析:(1)將A、B的坐標代入拋物線的解析式中,即可求出待定系數(shù)的值;
(2)根據(jù)(1)得到的函數(shù)解析式,可求出D、C的坐標;易證得△OBC是等腰Rt△,若過A作BC的垂線,設垂足為E,在Rt△ABE中,根據(jù)∠ABE的度數(shù)及AB的長即可求出AE、BE、CE的長;連接AC,設拋物線的對稱軸與x軸的交點為F,若∠APD=∠ACB,那么△AEC與△AFP,根據(jù)得到的比例線段,即可求出PF的長,也就求得了P點的坐標;
(3)當Q到直線BC的距離最遠時,△QBC的面積最大(因為BC是定長),可過Q作y軸的平行線,交BC于S;根據(jù)B、C的坐標,易求出直線BC的解析式,可設出Q點的坐標,根據(jù)拋物線和直線BC的解析式,分別表示出Q、S的縱坐標,即可得到關于QS的長以及Q點橫坐標的函數(shù)關系式,以QS為底,B、C橫坐標差的絕對值為高可得到△QBC的面積,由于B、C橫坐標差的絕對值為定值,那么QS最長時,△QBC的面積最大,此時Q離BC的距離最遠;可根據(jù)上面得到的函數(shù)的性質求出QS的最大值及對應的Q點橫坐標,然后將其代入拋物線的解析式中,即可求出Q點的坐標.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022163747696262685/SYS201310221637476962626024_DA/images0.png)
解:(1)∵拋物線y=-x
2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(-3,0),
∴
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解得:
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∴拋物線的解析式為y=-x
2-4x-3(4分)
(2)由y=-x
2-4x-3
可得D(-2,1),C(0,-3)
∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2
可得△OBC是等腰直角三角形
∴∠OBC=45°,
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(5分)
如圖,設拋物線對稱軸與x軸交于點F,
∴
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過點A作AE⊥BC于點E
∴∠AEB=90°
可得
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(6分)
在△AEC與△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,
∴△AEC∽△AFP(7分)
∴
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解得PF=2(8分)
∵點P在拋物線的對稱軸上,
∴點P的坐標為(-2,2)或(-2,-2)(9分)
(3)設直線BC的解析式y(tǒng)=kx+b,
直線BC經(jīng)過B(-3,0),C(0,-3),
∴
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解得:k=-1,b=-3,
∴直線BC的解析式y(tǒng)=-x-3(10分)
設點Q(m,n),過點Q作QH⊥BC于H,并過點Q作QS∥y軸交直線BC于點S,則S點坐標為(m,-m-3)
∴QS=n-(-m-3)=n+m+3(11分)
∵點Q(m,n)在拋物線y=-x
2-4x-3上,
∴n=-m
2-4m-3
∴QS=-m
2-4m-3+m+3
=-m
2-3m
=
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當m=
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時,QS有最大值
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(12分)
∵BO=OC,∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°
∵QS∥y軸,
∴∠QSH=45°
∴△QHS是等腰直角三角形;
∴當斜邊QS最大時QH最大;(13分)
∵當m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022163747696262685/SYS201310221637476962626024_DA/12.png)
時,QS最大,
∴此時n=-m
2-4m-3=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022163747696262685/SYS201310221637476962626024_DA/13.png)
+6-3=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022163747696262685/SYS201310221637476962626024_DA/14.png)
;
∴Q(-
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,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022163747696262685/SYS201310221637476962626024_DA/16.png)
);(14分)
∴Q點的坐標為(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022163747696262685/SYS201310221637476962626024_DA/17.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022163747696262685/SYS201310221637476962626024_DA/18.png)
)時,點Q到直線BC的距離最遠.
(注:1、如果學生有不同的解題方法,只要正確,可參考評分標準,酌情給分;2、對第(3)題,如果只用△=0求解,扣(2分).理由:△=0判斷只有一個交點,不是充分條件)
點評:此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質、函數(shù)圖象交點及圖形面積的求法等知識,綜合性強,難度較大.