【答案】
分析:(1)利用垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)求解;
(2)①本問關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形,總共有3種情況,如答圖1所示,注意不要遺漏;
②關(guān)鍵點在于:首先,本問的圖形比較復(fù)雜,需正確作出圖形;其次,找到線段CD與AD之間的關(guān)聯(lián),這就是Rt△DCE∽Rt△ADO,通過計算可知其相似比為1,即兩個三角形全等,從而得到CD=AD,△DAC為等腰直角三角形;
本問符合條件的點C有2個,因此存在兩種情形,分別如答圖2和答圖3所示,注意不要遺漏.
解答:解:(1)
,OA=2,OB=2; …(3分)
(2)符合條件的點C有3個,如圖1.
連接PA,∵∠AOB=90°,由圓周角定理可知,AB為圓的直徑,點A、P、B共線.
∵圓心P在直線y=x上,∴∠POA=∠POB=45°,
又∵PO=PA=PB,∴△POB與△POA均為等腰直角三角形.
設(shè)動直線l與x軸交于點E,則有E(t,0),P(t,t),B(0,2t).
∵OBPC
1為平行四邊形,∴C
1P=OB=2t,C
1E=C
1P+PE=2t+t=3t,
∴C
1(t,3t);
同理可求得:C
3(t,-t);
∵OPBC
2為平行四邊形,且PB=PO,∠OPB=90°,
∴?OPBC
2為正方形,其對角線OB位于y軸上,則點P與點C
2關(guān)于x軸對稱,
∴C
2(-t,t);
∴符合條件的點C有3個,分別為C
1(t,3t)、C
2(-t,t)、C
3(t,-t);…(7分)
(3)△DAC是等腰直角三角形.理由如下:
當(dāng)點C在第一象限時,如圖2,連接DA、DC、PA、AC.
由(2)可知,點C的坐標(biāo)為(t,3t),由點P坐標(biāo)為(t,t),點A坐標(biāo)為(2t,0),點B坐標(biāo)為(0,2t),
可知OA=OB=2t,△OAB是等腰直角三角形,
又PO=PB,進而可得△OPB也是等腰直角三角形,則∠POB=∠PBO=45°.
∵∠AOB=90°,∴AB為⊙P的直徑,∴A、P、B三點共線,
又∵BC∥OP,∴∠CBE=∠POB=45°,
∴∠ABC=180°-∠CBE-∠PBO=90°,
∴AC為⊙Q的直徑,∴DA⊥DC…(9分)
∴∠CDE+∠ADO=90°
過點C作CE⊥y軸于點E,則有∠DCE+∠CDE=90°,∴∠ADO=∠DCE,
∴Rt△DCE∽Rt△ADO,
∴
,即
,
解得OD=t或OD=2t
依題意,點D與點B不重合,∴舍去OD=2t,只取OD=t,
∴
,即相似比為1,此時兩個三角形全等,則DC=AD,
∴△DAC是等腰直角三角形.…(11分)
當(dāng)點C在第二象限時,如圖3,同上可證△DAC也是等腰直角三角形. …(12分)
綜上所述,當(dāng)點C在直線y=x上方時,△DAC必為等腰直角三角形.…(13分)
點評:本題是代數(shù)幾何綜合題,綜合考查了圓、一次函數(shù)、平行四邊形、正方形、等腰直角三角形、相似三角形、全等三角形等知識點,圖形復(fù)雜,難度較大,對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求很高.本題容易失分之處在于:其一,(2)①問中有三種情形,(2)②問中有兩種情形,學(xué)生容易遺漏;其二,(2)②問中找不到線段AD與CD之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系(Rt△DCE∽Rt△ADO),從而無從判斷△DAC的形狀.