Question

一位小朋友在不打滑的平面軌道上滾動一個半徑為10 cm的圓盤，當滾動到與坡面BC開始相切時停止．其中AB＝80 cm，BC與水平面的夾角為60°．

(1)求出圓盤在AB上滾動一圈時，其圓心所經過的路線的長度(π取3.14)；

(2)當圓盤從點A滾動到與BC開始相切時停止，其圓心所經過的路線長大約是多少(精確到0.1 cm)？

Answer 1

答案：
解析：

解：圓盤在AB上滾動的任何時刻，圓心O到地面AB的距離都等于半徑，所以圓心經過的路線在一條平行于AB且與AB相距10 cm的直線上． 　　(1)圓盤在AB上滾動一圈時，圓心經過的路線剛好等于圓的周長，這個長度是2π×10≈2×3.14×10＝62.8(cm)． 　　(2)當圓盤滾動到與BC開始相切時，設圓心為點，⊙與AB、BC的切點分別為點D、E． 　　連接D、E、B，則D⊥AB，E⊥BC，BD＝BE，∠BD＝∠BE． 　　因為BC與水平面的夾角為60°，所以∠ABC＝120°． 　　所以∠BD＝∠BE＝∠ABC＝60°． 　　在Rt△DB中，∠DB＝30°，所以B＝2DB． 　　由勾股定理，得D2＝B2－DB2＝(2DB)2－DB2＝3DB2＝100． 　　解得DB＝≈5.8(cm)． 　　所以O＝AD＝AB－DB≈80－5.8＝74.2(cm)，即圓盤滾動到與BC開始相切時，圓心經過的路線長大約是74.2 cm． 　　點評：本題以生活中常見的圓盤滾動為載體，考查了直線與圓相切、勾股定理等知識的綜合應用，突出了從實際問題中抽象并建立數學模型的能力．