Question

已知：如圖，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于點A、B，（點A在點B的左側(cè)）且滿足OC=4OA．設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M：
（1）求拋物線的解析式及點M的坐標；
（2）聯(lián)接CM，點Q是射線CM上的一個動點，當△QMB與△COM相似時，求直線AQ的解析式．

Answer 1

解：（1）令x=0，則y=4，
∴點C（0，4），
OC=4，
∵OC=4OA，
∴OA=1，
∴點A（-1，0），
把點A坐標代入拋物線y=-x²+mx+4得，-×（-1）²+m×（-1）+4=0，
解得m=，
∴拋物線解析式為y=-x²+x+4，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-=2，
∴點M的坐標為（2，0）；

（2）∵OM=2，OC=4，
∴CM==2，
令y=0，則-x²+x+4=0，
整理得x²-4x-5=0，
解得x₁=-1，x₂=5，
∴點B的坐標為（5，0），
∴OB=5，
∴BM=OB-OM=5-2=3，
如圖，①∠BQM=90°時，△COM和△BQM相似，
∴=，
即=，
解得BQ=，
過點Q作QD⊥x軸于D，
則BD=BQ•cos∠QBM=×=，QD=BQ•sin∠QBM=×=，
∴OD=OB-BD=5-=，
∴點Q的坐標為（，-），
設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
∴直線AQ的解析式為y=-x-；

②∠MBQ=90°時，△COM和△QBM相似，
∴=，
即=，
解得BQ=6，
∴點Q的坐標為（5，-6），
設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
∴直線AQ的解析式為y=-x-1；
綜上所述，當△QMB與△COM相似時，求直線AQ的解析式為y=-x-或y=-x-1．
分析：（1）令x=0求出點C的坐標，再求出OA的長度，然后寫出點A的坐標，代入拋物線求出m的值，即可得解，再利用對稱軸解析式求出點M的坐標即可；
（2）求出OM的長，再利用勾股定理列式求出CM，令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出點B的坐標，得到OB的長度，再求出BM，然后分①∠BQM=90°時，△COM和△BQM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BQ，過點Q作QD⊥x軸于D，解直角三角形求出BD、QD，然后求出OD，從而寫出點Q的坐標，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；②∠MBQ=90°時，△COM和△QBM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BQ，再寫出點Q的坐標，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與坐標軸的交點坐標的求法，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，難點在于（2）要分情況討論．