如圖,拋物線(a≠0)交x軸于A、B兩點,A點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G.
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對稱軸l在邊OA(不包括O、A兩點)上平行移動,分別交x軸于點E,交CD于點F,交AC于點M,交拋物線于點P,若點M的橫坐標(biāo)為m,請用含m的代數(shù)式表示PM的長;
(3)在(2)的條件下,連結(jié)PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P,使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似?若存在,求出此時m的值,并直接判斷△PCM的形狀;若不存在,請說明理由。
解:(1)∵拋物線(a≠0)經(jīng)過點A(3,0),點C(0,4),
∴,解得
。
∴拋物線的解析式為。
(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
∵A(3,0),點C(0,4),
∴,解得
。
∴直線AC的解析式為。
∵點M的橫坐標(biāo)為m,點M在AC上,
∴M點的坐標(biāo)為(m,)。
研三理-孟奕含(713000529);∵點P的橫坐標(biāo)為m,點P在拋物線上,
∴點P的坐標(biāo)為(m,)。
∴PM=PE-ME=()-(
)=
。
∴PM=(0<m<3)。
(3)在(2)的條件下,連接PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P,使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似。理由如下:
由題意,可得AE=3﹣m,EM=,CF=m,PF=
=
,
若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似,分兩種情況:
①若△PFC∽△AEM,則PF:AE=FC:EM,即():(3-m)=m:(
),
∵m≠0且m≠3,∴m=。
∵△PFC∽△AEM,∴∠PCF=∠AME。
∵∠AME=∠CMF,∴∠PCF=∠CMF。
在直角△CMF中,∵∠CMF+∠MCF=90°,∴∠PCF+∠MCF=90°,即∠PCM=90°。
∴△PCM為直角三角形。
②若△CFP∽△AEM,則CF:AE=PF:EM,即m:(3-m)=():(
),
∵m≠0且m≠3,∴m=1。
∵△CFP∽△AEM,∴∠CPF=∠AME。
∵∠AME=∠CMF,∴∠CPF=∠CMF。∴CP=CM。
∴△PCM為等腰三角形。
綜上所述,存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似.此時m的值為或1,△PCM為直角三角形或等腰三角形。
【解析】(1)將A(3,0),C(0,4)代入,運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。
(2)先根據(jù)A、C的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,從而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點P、點M的坐標(biāo),即可得到PM的長。
(3)由于∠PFC和∠AEM都是直角,F(xiàn)和E對應(yīng),則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時,分兩種情況進(jìn)行討論:①△PFC∽△AEM,②△CFP∽△AEM;可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式,求出m的值,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì),直角三角形、等腰三角形的判定判斷出△PCM的形狀。
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A、-1<x<3 | B、3<x<-1 | C、x>-1或x<3 | D、x<-1或x>3 |
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