如圖,拋物線(a≠0)交x軸于A、B兩點,A點坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點C(0,4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G.

(1)求拋物線的解析式;

(2)拋物線的對稱軸l在邊OA(不包括O、A兩點)上平行移動,分別交x軸于點E,交CD于點F,交AC于點M,交拋物線于點P,若點M的橫坐標(biāo)為m,請用含m的代數(shù)式表示PM的長;

(3)在(2)的條件下,連結(jié)PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P,使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似?若存在,求出此時m的值,并直接判斷△PCM的形狀;若不存在,請說明理由。

 

【答案】

解:(1)∵拋物線(a≠0)經(jīng)過點A(3,0),點C(0,4),

,解得。

∴拋物線的解析式為

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

∵A(3,0),點C(0,4),

,解得

∴直線AC的解析式為

∵點M的橫坐標(biāo)為m,點M在AC上,

∴M點的坐標(biāo)為(m,)。

研三理-孟奕含(713000529);∵點P的橫坐標(biāo)為m,點P在拋物線上,

∴點P的坐標(biāo)為(m,)。

∴PM=PE-ME=()-()=。

∴PM=(0<m<3)。

(3)在(2)的條件下,連接PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P,使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似。理由如下:

 由題意,可得AE=3﹣m,EM=,CF=m,PF==

若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似,分兩種情況:

①若△PFC∽△AEM,則PF:AE=FC:EM,即():(3-m)=m:(),

∵m≠0且m≠3,∴m=。

∵△PFC∽△AEM,∴∠PCF=∠AME。

∵∠AME=∠CMF,∴∠PCF=∠CMF。

在直角△CMF中,∵∠CMF+∠MCF=90°,∴∠PCF+∠MCF=90°,即∠PCM=90°。

∴△PCM為直角三角形。

②若△CFP∽△AEM,則CF:AE=PF:EM,即m:(3-m)=():(),

∵m≠0且m≠3,∴m=1。

∵△CFP∽△AEM,∴∠CPF=∠AME。

∵∠AME=∠CMF,∴∠CPF=∠CMF。∴CP=CM。

∴△PCM為等腰三角形。

綜上所述,存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似.此時m的值為或1,△PCM為直角三角形或等腰三角形。

【解析】(1)將A(3,0),C(0,4)代入,運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。

(2)先根據(jù)A、C的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,從而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點P、點M的坐標(biāo),即可得到PM的長。

(3)由于∠PFC和∠AEM都是直角,F(xiàn)和E對應(yīng),則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時,分兩種情況進(jìn)行討論:①△PFC∽△AEM,②△CFP∽△AEM;可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式,求出m的值,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì),直角三角形、等腰三角形的判定判斷出△PCM的形狀。

 

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26、已知:如圖,拋物線C1,C2關(guān)于x軸對稱;拋物線C1,C3關(guān)于y軸對稱.拋物線C1,C2,C3與x軸相交于A、B、C、D四點;與y相交于E、F兩點;H、G、M分別為拋物線C1,C2,C3的頂點.HN垂直于x軸,垂足為N,且|OE|>|HN|,|AB|≠|(zhì)HG|
(1)A、B、C、D、E、F、G、H、M9個點中,四個點可以連接成一個四邊形,請你用字母寫出下列特殊四邊形:菱形
AHBG
;等腰梯形
HGEF
;平行四邊形
EGFM
;梯形
DMHC
;(每種特殊四邊形只能寫一個,寫錯、多寫記0分)
(2)證明其中任意一個特殊四邊形;
(3)寫出你證明的特殊四邊形的性質(zhì).

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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線交x軸于點A(-2,0),點B(4,0),交y軸于點C(0,4).
(1)求拋物線的解析式,并寫出頂點D的坐標(biāo);
(2)若直線y=x交拋物線于M,N兩點,交拋物線的對稱軸于點E,連接BC,EB,EC.試判斷△EBC的形狀,并加以證明;
(3)設(shè)P為直線MN上的動點,過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點F.問:在直線MN上是否存在點P,使得以P,E,D,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P及相應(yīng)的點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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如圖,拋物線的頂點坐標(biāo)為M(1,4),與x軸的一個交點是A(-1,0),與y軸交于點B,直線x=1交x軸于點N.
(1)求拋物線的解析式及點B的坐標(biāo);
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(3)若點P在拋物線的對稱軸x=1上運動,請你探索:在x軸上方是否存在這樣的P點,使精英家教網(wǎng)以P為圓心的圓經(jīng)過點A,并且與直線BM相切?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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