Question

【題目】新定義：我們把只有一組對角是直角的四邊形叫做準矩形．
（1）圖①、圖②均為3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1．線段AB、BC的端點均在格點上，在圖①、圖②中各畫一個準矩形ABCD，要求：準矩形ABCD的頂點D在格點上，且兩個準矩形不全等．

（2）如圖③，正方形ABCD的邊長為4，準矩形ABMN的頂點M、N分別在正方形ABCD的邊上．若準矩形ABMN的一條對角線長為5，直接寫出此時該準矩形的面積

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，圖②所示．

（2）解：如圖③，

在正方形ABCD中，∠ABC=∠D=90°，

∵∠ANM=90°，

∴∠DAN=∠CNM（同角的余角相等），

∴△ADN∽△NCM，

∴ = ．

①連接AM，

當AM=5時，在直角△ABM中，AB=4，∠ABC=90，AM=5，則由勾股定理得到：BM= = =3，

所以CM=4﹣3=1．

所以 = ，

則DNNC=4．

又DN+NC=4，

∴DN=NC=2，

∴S準矩形ABMN=S正方形ABCD﹣S△ADN﹣S△NCM=4×4﹣ ×4×2﹣ ×2×1=11；

②連接BN，

當BN=5時，在直角△BCN中，AB=4，∠ABC=90，BN=5，則由勾股定理得到：CN= = =3，

所以DN=4﹣3=1．

所以 = ，

∴CM= ，

∴S準矩形ABMN=S正方形ABCD﹣S△ADN﹣S△NCM=4×4﹣ ×4×1﹣ ×3× = ；

綜上所述，此時該準矩形的面積是11或= ．

【解析】（1）以AC為直徑畫圓與格點相交的D點都符合題意；（2）對角線長為5，須分類討論，AM=5或BN=5，利用相似三角形和勾股定理，可求出準矩形的面積.
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能得出正確答案．