Question

如圖：已知y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A，B坐標(biāo)分別是（-1，0）和（3，0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線解析式，并確定其對(duì)稱(chēng)軸；
（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)E，使得△ACE的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在第一象限內(nèi)拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得四邊形OCDB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得：
解得：

∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，對(duì)稱(chēng)軸為：；

（2）存在．
連接BC．設(shè)BC表達(dá)式為：y=kx+b．由題意得：

解得：b=3，k=-1
∴y=-x+3，當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，2）．此時(shí)△ACE的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)=AC+BC
在直角三角形AOC和直角三角形BOC中，由勾股定理得：
AC=，BC=3
∴周長(zhǎng)=AC+BC=；

（3）存在．設(shè)點(diǎn)D如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OC于點(diǎn)E，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-a²+2a+3）
∴EC=-a²+2a+3-3=-a²+2a，DE=a
S_{四邊形OCDB}=S_梯形OEDB-S_△EDC=（a+3）（-a²+2a+3）-a（-a²+2a）
即S=，

當(dāng)時(shí)，S_最大=
當(dāng)a=時(shí)，，
∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是．
分析：（1）要求拋物線的解析式，直接利用待定系數(shù)法把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式構(gòu)造一個(gè)三元一次方程組就可以了．然后代入對(duì)稱(chēng)軸公式就可以求出對(duì)稱(chēng)軸了．
（2）是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，利用兩點(diǎn)之間線段最短，連接BC于對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)E．再求出BC的解析式，最后于對(duì)稱(chēng)軸的解析式建立二元一次方程組，就可以求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，作ED⊥OC于點(diǎn)D，就可以表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而表示出四邊形面積的表達(dá)式，利用函數(shù)的解析式確定其最值，有最大值則點(diǎn)D存在，就可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、勾股定理、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、平面圖形的面積的計(jì)算，拋物線的頂點(diǎn)式的運(yùn)用等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，難度比較大．