Question

閱讀題：我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形小數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家事萬(wàn)休．”數(shù)形結(jié)合的基本思想，就是在研究問(wèn)題的過(guò)程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考察，斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案．
例：求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整數(shù)；
如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來(lái)求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：
如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3…n個(gè)小圓圈的個(gè)數(shù)恰好為所求式子1+2+3+4+…+n的值，為求式子的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個(gè)平行四邊形小圓圈的總個(gè)數(shù)為n（n+1）個(gè)，因此，組成一個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)為

n(n+1)

2

，即1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

①仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法，設(shè)計(jì)相關(guān)圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n為正整數(shù)（要求畫出圖形，寫出結(jié)果即可）
②試設(shè)計(jì)另外一種圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數(shù)（要求畫出圖形，寫出結(jié)果即可）

Answer 1

分析：①根據(jù)題干的分析方法，我們也可以作出一個(gè)平行四邊形，平行四邊形的邊長(zhǎng)分別為2n，n；則組成一個(gè)平行四邊形小圓圈的總個(gè)數(shù)為n×2n個(gè)，因此，組成一個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)為n×n．
②根據(jù)提干的分析方法，如下圖所示，我們可以作出一個(gè)正方形，它的邊長(zhǎng)為n，此時(shí)小圓圈的總個(gè)數(shù)為：n×n=n²．

解答：解：①

組成平行四邊形小圓圈的總個(gè)數(shù)為n×2n個(gè)，因此，組成一個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)為n×n=n²．
②

可以組成一個(gè)邊長(zhǎng)為n的正方形，因此1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n²．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于圖形變化類得出規(guī)律型，關(guān)鍵在于根據(jù)提干得出方便求解的圖形，如：平行四邊形、正方形等．