Question

（2011•蜀山區(qū)二模）如圖1所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，BE交AC于F，點(diǎn)P是AC上任意一點(diǎn)，連接PD、PE．
（1）如圖2，P₁P₂是AC上的兩點(diǎn)，觀察并比較P₁D+P₁E與P₂D+P₂E的大�。ㄖ豁氄f(shuō)明結(jié)論，不必說(shuō)明理由）；
（2）若P₃是AC上另外一點(diǎn)，且P₃D+P₃E比P₁D+P₁E與P₂D+P₂E都小，你能確定P₃的大致位置嗎？
（3）在對(duì)角線AC上是否存在點(diǎn)P，使PD+PE的和最小？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)說(shuō)出這個(gè)最小值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B、D關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱，可得出P₁D+P₁E大于P₂D+P₂E的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)題意可得出在AC上到D、E兩點(diǎn)距離最小的點(diǎn)連接BE與AC的交點(diǎn)，離交點(diǎn)越遠(yuǎn)到D、E兩點(diǎn)的距離越大，則得出P₃的大體位置是F處；
（3）連接BE，交AC于點(diǎn)P，則PD+PE的和最�。鶕�(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得出結(jié)論．

解答：解：（1）由對(duì)稱的性質(zhì)得，P₁D+P₁E＞P₂D+P₂E；

（2）∵P₃是AC上另外一點(diǎn)，且P₃D+P₃E比P₁D+P₁E與P₂D+P₂E都小，
∴P₃是點(diǎn)F；

（3）連接BE，交AC于點(diǎn)P，連接DP．
∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最�。�
∵正方形ABCD的面積為12，
∴AB=2

3

．
又∵△ABE是等邊三角形，
∴BE=AB=2

3

．
故所求最小值為2

3

．
理由是：
在AC上任取一點(diǎn)Q，連接QD，QB，QE，
∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴QD=QB，
∴QD+QE=QB+QE＞BE（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）．
∴PD+PE的和最小，最小值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題及正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，此題的難點(diǎn)主要是確定點(diǎn)P的位置．注意充分運(yùn)用正方形的性質(zhì)：正方形的對(duì)角線互相垂直平分．再根據(jù)對(duì)稱性確定點(diǎn)P的位置即可．