Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM=x．
（1）用含x的代數式表示△MNP的面積S；
（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切；
（3）在動點M的運動過程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于三角形PMN和AMN的面積相當，那么可通過求三角形AMN的面積來得出三角形PMN的面積，求三角形AMN的面積可根據三角形AMN和ABC相似，根據相似比的平方等于面積比來得出三角形AMN的面積；
（2）當圓O與BC相切時，O到BC的距離就是MN的一半，那么關鍵是求出MN的表達式，可根據三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表達式，也就求出了O到BC的距離的表達式，如果過M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距離，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函數以及BM的表達式表示出MQ，然后讓這兩表示MQ的含x的表達式相等，即可求出x的值；
（3）要求重合部分的面積首先看P點在三角形ABC內部還是外面，因此可先得出這兩種情況的分界線即當P落到BC上時，x的取值，那么P落點BC上時，MN就是三角形ABC的中位線，此時AM=2，因此可分兩種情況進行討論：
①當0＜x≤2時，此時重合部分的面積就是三角形PMN的面積，三角形PMN的面積（1）中已經求出，即可的x，y的函數關系式．②當2＜x＜4時，如果設PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四邊形MEFN，可通過三角形PMN的面積-三角形PEF的面積來求重合部分的面積．不難得出PN=AM=x，而四邊形BMNF又是個平行四邊形，可得出FN=BM，也就有了FN的表達式，就可以求出PF的表達式，然后參照（1）的方法可求出三角形PEF的面積，即可求出四邊形MEFN的面積，也就得出了y，x的函數關系式．然后根據兩種情況得出的函數的性質，以及對應的自變量的取值范圍求出y的最大值即可．
解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴，即；
∴AN=x；
∴S=S_△MNP=S_△AMN=•x•x=x²．（0＜x＜4）

（2）如圖2，設直線BC與⊙O相切于點D，連接AO，OD，則AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC==5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴MN=x
∴OD=x，
過M點作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD=x，
在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴，
∴BM=x，AB=BM+MA=x+x=4
∴x=，
∴當x=時，⊙O與直線BC相切；

（3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，連接AP，則O點為AP的中點．
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，
∴△AMO∽△ABP，
∴，
∵AM=MB=2，
故以下分兩種情況討論：
①當0＜x≤2時，y=S_△PMN=x²，
∴當x=2時，y最大=×4=，
②當2＜x＜4時，設PM，PN分別交BC于E，F，
∵四邊形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN=AM=x，
又∵MN∥BC，
∴四邊形MBFN是平行四邊形；
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-（4-x）=2x-4，
又∵△PEF∽△ACB，
∴，
∴S_△PEF=（x-2）²；
y=S_△MNP-S_△PEF=x²-（x-2）²=-x²+6x-6，
當2＜x＜4時，y=-x²+6x-6=-（x-）²+2，
∴當x=時，滿足2＜x＜4，y最大=2．
綜上所述，當x=時，y值最大，最大值是2．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質以及二次函數的綜合應用，要注意（3）中要根據P點的位置的不同分情況進行討論，不要漏解．