Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=45°，AD=AP=2，AB=DP=2 ，E為CD的中點，點F在線段PB上．
（Ⅰ）求證：AD⊥PC；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B﹣EFC的體積等于四棱錐P﹣ABCD體積的 時，求 的值．

Answer 1

【答案】（I）證明：連接AC，∵BC=AD=2，AB=2 ，∠ABC=45°， ∴AC= =2，
∴AC2+BC2=AB2 ， ∴AC⊥BC，
又AD∥BC，∴AD⊥AC，
∵AD=AP=2，DP=2 ，∴AD⊥AP，
又AP平面APC，AC平面APC，AP∩AC=A，
∴AD⊥平面PAC，又PC平面APC，
∴AD⊥PC．
（II）解：∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，
側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，AD⊥PA，PA平面PAD，
∴PA⊥平面ABCD，
∴VP﹣ABCD= ，
設(shè)F到平面ABCD的距離為h，則
VB﹣CEF=VF﹣BCE= = ，
∴ = VP﹣ABCD= ，
∴h= ，
∴ = = ，
∴ = ．

【解析】（I）利用勾股定理的逆定理證明AD⊥AP，AC⊥BC，從而AD⊥平面PAC，于是AD⊥PC；（II）利用面面垂直的性質(zhì)證明PA⊥平面ABCD，根據(jù)棱錐的體積關(guān)系得出F到平面ABCD的距離，從而得出 的值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．