Question

【題目】已知：如圖，點C是以AB為直徑的⊙O上一點，直線AC與過B點的切線相交于D，點E是BD的中點，直線CE交直線AB于點F．

(1)求證：CF是⊙O的切線；

(2)若ED=3，EF=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6.

【解析】

（1）連CB、OC，根據切線的性質得∠ABD=90°，根據圓周角定理由AB是直徑得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，則根據直角三角形斜邊上的中線性質得CE=BE，于是得到∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根據切線的判定定理得CF是⊙O的切線；
（2）CE=BE=DE=3，于是得到CF=CE+EF=4，然后根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：連接，，

∵為⊙O的切線，是⊙O的直徑，

∴，.

∴.

∴.

∵為的中點，

∴.

∴.

又∵

∴.

∴.

∴是⊙O的切線．

（2）解：∵，

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴∽

∴，

∴，

∴，即⊙O的半徑為6