某河道上有一個半圓形的拱橋,河兩岸筑有攔水堤壩.其半圓形橋洞的橫截面如圖所示.已知上、下橋的坡面線ME、NF與半圓相切,上、下橋斜面的坡度i=1:3.7,橋下水深=5米.水面寬度CD=24米.設(shè)半圓的圓心為O,直徑AB在坡角頂點M、N的連線上.求從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長.(參考數(shù)據(jù):π≈3,≈1.7,tan15°=

【答案】分析:首先明確從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長應為如圖ME++FN,連接如圖,把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題,由已知求出OD即半徑,再由坡度i=1:3.7和tan15°==1:3.7,得出∠M=∠N=15°,因此能求出ME和FN,所以求出∠EOM=∠FON=90°-15°=75°,則得出所對的圓心角∠EOF,相繼求出弧EF的長,從而求出從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長.
解答:解:連接FO、EO、DO,
已知CD=24,0P=5,∴PD=12,
∴OD2=OP2+PD2=52+122=169,
∴OD=13,則OE=OF=13,
已知坡度i=1:3.7和tan15°==1:3.7,
∴∠M=∠N=15°,
∴cot15°==2+,
∵上、下橋的坡面線ME、NF與半圓相切,
∴tan∠M=,
∴ME=FN==13×(2+)=26+13
∠EOM=∠FON=90°-15°=75°,
∴∠EOF=180°-75°-75°=30°,
==π,
∴ME++FN=26+13+π+26+13≈102.7.
答:從M點上坡、過橋、下坡到N點的最短路徑長為102.7米.
點評:此題考查的知識點是解直角三角形的應用,解題的關(guān)鍵是由已知先求出半圓的半徑和∠M和∠N,再由直角三角形求出MF和FN,求出弧EF的長.
練習冊系列答案
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