Question

如圖1，已知⊙O的半徑長為3，點A是⊙O上一定點，點P為⊙O上不同于點A的動點．
（1）當時，求AP的長；
（2）如果⊙Q過點P、O，且點Q在直線AP上（如圖2），設AP=x，QP=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）在（2）的條件下，當tanA=時（如圖3），存在⊙M與⊙O相內切，同時與⊙Q相外切，且OM⊥OQ，試求⊙M的半徑的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點P作PB⊥OA交AO的延長線于B，連接OP，設PB=a，根據(jù)∠A的正切值表示出AB=2a，再表示出OE=2a-3，在Rt△POB中，利用勾股定理列方程求出a，然后在Rt△ABP中，利用勾股定理列式計算即可求出AP；
（2）連接OP、OQ，根據(jù)等邊對等角可得∠P=∠POQ=∠A，求出△AOP和△PQO相似，利用相似三角形對應邊成比例列式整理即可得到y(tǒng)與x的關系式，根據(jù)直徑是圓的最長的弦寫出x的取值范圍；
（3）過點O作OC⊥AP于C，根據(jù)∠A的正切值，設OC=4b，則AC=3b，在Rt△AOC中，利用勾股定理列方程求出b，從而得到OC、AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得PC=AC，設⊙Q的半徑為c，然后表示出CQ，在Rt△COQ中，利用勾股定理列方程求出c，設⊙M的半徑為r，根據(jù)圓與圓的位置關系表示出MQ、MO然后利用勾股定理列方程求解即可得到r的值，從而得解．
解答：解：（1）如圖1，過點P作PB⊥OA交AO的延長線于B，連接OP，設PB=a，
∵tanA=，
∴AB=2a，
∴OB=AB-OA=2a-3，
在Rt△POB中，PB²+OB²=OP²，
即a²+（2a-3）²=3²，
解得a₁=，a₂=0（舍去），
∴AB=2×=，
在Rt△ABP中，AP===；

（2）連接OP、OQ，則AO=PO，PQ=OQ，
∴∠P=∠A，∠POQ=∠P，
∴∠P=∠POQ=∠A，
∴△AOP∽△PQO，
∴=，
即=，
整理得，y=，
∵⊙O的半徑為3，點P不同于點A，
∴0＜x≤6；
∴y=（0＜x≤6）；

（3）過點O作OC⊥AP于C，
∵tanA=，
∴設OC=4b，AC=3b，
在Rt△AOC中，OC²+AC²=OA²，
即（4b）²+（3b）²=3²，
解得b=，
∴OC=4×=，AC=3×=，
根據(jù)垂徑定理，PC=AC=，
設⊙Q的半徑為c，則CQ=QP-PC=c-，
在Rt△COQ中，OC²+CQ²=OQ²，
即（）²+（c-）²=c²，
解得c=，
設⊙M的半徑為r，
∵⊙M與⊙O相內切，同時與⊙Q相外切，
∴MO=3-r，MQ=r+，
在Rt△OMQ中，MO²+OQ²=MQ²，
即（3-r）²+（）²=（r+）²，
解得r=．
點評：本題考查了圓的綜合題型，主要利用了解直角三角形，勾股定理，同一個圓的半徑相等，等邊對等角的性質，相似三角形的判定與性質，圓與圓的位置關系，作輔助線構造出直角三角形與相似三角形是解題的關鍵，難點在于反復利用勾股定理列出方程求解．