Question

如圖所示，點(diǎn)A、B分別為兩個村莊，AB、BC、CD為公路，BD為農(nóng)田，AD為河寬，且CD與AD互相垂直．經(jīng)測量得AB=4

3

千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．
（1）求出河寬AD（結(jié)果保留根號）；
（2）求出公路CD的長．

Answer 1

分析：（1）分別作BF⊥AF，BG⊥CD，解直角△ABF可求得AF、BF，解直角△BDF可求得DF的長，根據(jù)AF、DF可以求得AD的長；
（2）易證四邊形BFDG為矩形，則DG=BF，在直角△BCG中，根據(jù)勾股定理即可求得CG的長，根據(jù)CG、DG即可求CD的長．

解答：解：作BF⊥AF，BG⊥CD，
（1）則∠BAF=60°，∴BF=ABsin60°=6，AF=ABcos60°=2

3

，
∠BDA=90°-∠BDC=45°，
∴DF=BFtan45°=6，
∴AD=6-2

3

；

（2）∵BG∥DF，BF∥GD，AD⊥CD，
四邊形BFDG為矩形，
又∠BDC=45°，
∴四邊形BFDG為正方形，
∴BG=DF=6，BF=DG=6，
在Rt△BCG中，BC=10，BG=6，
CG=

BC2-BG2

=8，
∴CD長度為6+8=14．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，三角函數(shù)在直角三角形中的運(yùn)用．